已知f(x)=2lnx-x^2,若方程f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不相等的实根,求m的取值范围.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/13 22:42:10
已知f(x)=2lnx-x^2,若方程f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不相等的实根,求m的取值范围.
m的范围是大于1小于等于(1/e)^2+2
过程:f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不等的实根
即 m = -f(x)=x^2 - 2lnx 在[1/e,e]内有两个不等的实根
令 g(x) = x^2 - 2lnx 则g'(x) = 2*(x+1)*(x-1)/x
令g'(x)=0 得 x= -1 x= 1
所以 在[1/e,1]内 g(x)单调减 在[1 ,e]内g(x)单调增
而g(1)=1 g(1/e)=(1/e)^2+2 g(e)=e^2 + 2
然后?
m的范围是大于1小于等于(1/e)^2+2
过程:f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不等的实根
即 m = -f(x)=x^2 - 2lnx 在[1/e,e]内有两个不等的实根
令 g(x) = x^2 - 2lnx 则g'(x) = 2*(x+1)*(x-1)/x
令g'(x)=0 得 x= -1 x= 1
所以 在[1/e,1]内 g(x)单调减 在[1 ,e]内g(x)单调增
而g(1)=1 g(1/e)=(1/e)^2+2 g(e)=e^2 + 2
然后?
f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不相等的实根,
则
x^2-2lnx-m=0在[1/e,e]内有两个不相等的实根,
令g(x)=x^2-2lnx-m
则
g(x)'=2x-2/x=2(x^2-1)/x
即g(x)在x=-1和x=1处有拐点,
当x<-1时,lnx不存在,所以舍去;
当-1<x<1时,因是在[1/e,e]内,所以在1/e<x<1内,g(x)'<0,即g(x)在1/e<x<1内单调递减;
当x>1时,g(x)'>0,即g(x)在1<x<e时单调递增.
又
g(1/e)=1/e^2+2-m
g(1)=1-m
g(e)=e^2-2-m
所以要使g(x)有两个不相等的实根,就要
g(1)=1-m>0,且g(1/e)=1/e^2+2-m<0,g(e)=e^2-2-m<0
或
g(1)=1-m<0,且g(1/e)=1/e^2+2-m>0,g(e)=e^2-2-m>0
所以
m<1,m>1/e^2+2,m>e^2-2
或
m>1,m<1/e^2+2,m<e^2-2
所以
第一组舍去,只有
m>1,m<1/e^2+2,m<e^2-2
所以
1<m<1/e^2+2.
e=2.718281828459
e^2-2=5.389056098930404302314681
1/e^2+2=2.1353352832366171961659500496725
则
x^2-2lnx-m=0在[1/e,e]内有两个不相等的实根,
令g(x)=x^2-2lnx-m
则
g(x)'=2x-2/x=2(x^2-1)/x
即g(x)在x=-1和x=1处有拐点,
当x<-1时,lnx不存在,所以舍去;
当-1<x<1时,因是在[1/e,e]内,所以在1/e<x<1内,g(x)'<0,即g(x)在1/e<x<1内单调递减;
当x>1时,g(x)'>0,即g(x)在1<x<e时单调递增.
又
g(1/e)=1/e^2+2-m
g(1)=1-m
g(e)=e^2-2-m
所以要使g(x)有两个不相等的实根,就要
g(1)=1-m>0,且g(1/e)=1/e^2+2-m<0,g(e)=e^2-2-m<0
或
g(1)=1-m<0,且g(1/e)=1/e^2+2-m>0,g(e)=e^2-2-m>0
所以
m<1,m>1/e^2+2,m>e^2-2
或
m>1,m<1/e^2+2,m<e^2-2
所以
第一组舍去,只有
m>1,m<1/e^2+2,m<e^2-2
所以
1<m<1/e^2+2.
e=2.718281828459
e^2-2=5.389056098930404302314681
1/e^2+2=2.1353352832366171961659500496725
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