单调有界定理和证明过程(构造性证明)
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/08 03:02:38
单调有界定理和证明过程(构造性证明)
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单调有界定理
【单调有界定理】
若数列{an}递增(递减)有上界(下界),则数列{an}收敛,即单调有界函数必有极限.
【运用范围】
(1)单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性,如何求极限需用其他方法; (2)数列从某一项开始单调有界的结论依然成立,这是因为改变数列有限项不改变数列的极限.
按照课本上的说明:【单调有界定理】 在实数系中,有界的单调数列必有极限.
证明:不妨设{an}为有上界的递增数列.有确界原理,数列{an}有上确界,记为a=sup{an}
. 任给e>0,按上确界定义,存在数列中的每一项aN,使得a-e=N时有
a-e
【单调有界定理】
若数列{an}递增(递减)有上界(下界),则数列{an}收敛,即单调有界函数必有极限.
【运用范围】
(1)单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性,如何求极限需用其他方法; (2)数列从某一项开始单调有界的结论依然成立,这是因为改变数列有限项不改变数列的极限.
按照课本上的说明:【单调有界定理】 在实数系中,有界的单调数列必有极限.
证明:不妨设{an}为有上界的递增数列.有确界原理,数列{an}有上确界,记为a=sup{an}
. 任给e>0,按上确界定义,存在数列中的每一项aN,使得a-e=N时有
a-e