设a,b,c,∈R+,且a+b>c,试比较a/1+a + b/1+b与c/1+c的大小.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/18 18:07:31
设a,b,c,∈R+,且a+b>c,试比较a/1+a + b/1+b与c/1+c的大小.
引入函数f(x)=x/(1+x),其中x是正数.
则:f(x)=(1+x-1)/(1+x)=1-1/(1+x).
∴当x增大时,f(x)增大,∴f(x)是增函数.
∴当a+b>c>0时,有:f(a+b)>f(c),∴(a+b)/(1+a+b)>c/(1+c).······①
下面证明:a/(1+a)+b/(1+b)>(a+b)/(1+a+b).
利用反证法,设a/(1+a)+b/(1+b)≦(a+b)/(1+a+b),则:
[a(1+b)+b(1+a)]/[(1+a)(1+b)]≦(a+b)/(1+a+b),
∴[(a+b)+2ab]/[1+ab+(a+b)]≦(a+b)/[1+(a+b)],
∴[(a+b)+2ab][1+(a+b)]≦(a+b){[1+(a+b)]+ab},
∴(a+b)[1+(a+b)]+2ab[1+(a+b)]
≦(a+b)[1+(a+b)]+(a+b)ab,
∴2ab[1+(a+b)]≦(a+b)ab,
∴2[1+(a+b)]≦a+b,
∴2+(a+b)≦0.
这在a、b都是正数时,自然是错误的.
∴a/(1+a)+b/(1+b)≦(a+b)/(1+a+b)是错误的.
于是有:a/(1+a)+b/(1+b)>(a+b)/(1+a+b).······②
由①、②,得:a/(1+a)+b/(1+b)>c/(1+c).
则:f(x)=(1+x-1)/(1+x)=1-1/(1+x).
∴当x增大时,f(x)增大,∴f(x)是增函数.
∴当a+b>c>0时,有:f(a+b)>f(c),∴(a+b)/(1+a+b)>c/(1+c).······①
下面证明:a/(1+a)+b/(1+b)>(a+b)/(1+a+b).
利用反证法,设a/(1+a)+b/(1+b)≦(a+b)/(1+a+b),则:
[a(1+b)+b(1+a)]/[(1+a)(1+b)]≦(a+b)/(1+a+b),
∴[(a+b)+2ab]/[1+ab+(a+b)]≦(a+b)/[1+(a+b)],
∴[(a+b)+2ab][1+(a+b)]≦(a+b){[1+(a+b)]+ab},
∴(a+b)[1+(a+b)]+2ab[1+(a+b)]
≦(a+b)[1+(a+b)]+(a+b)ab,
∴2ab[1+(a+b)]≦(a+b)ab,
∴2[1+(a+b)]≦a+b,
∴2+(a+b)≦0.
这在a、b都是正数时,自然是错误的.
∴a/(1+a)+b/(1+b)≦(a+b)/(1+a+b)是错误的.
于是有:a/(1+a)+b/(1+b)>(a+b)/(1+a+b).······②
由①、②,得:a/(1+a)+b/(1+b)>c/(1+c).
设a,b,c,∈R+,且a+b>c,试比较a/1+a + b/1+b与c/1+c的大小.
设a,b,c ∈ R,且a ∈ (0,1),b=a^a,c=a^b,则a,b,c的大小关系为
问道数学题,已知a,b,c>0 ,且a,b,c不等于1,a^b =c ,b^c=a,试比较a,b,c的大小..
若b>0,a|c|,试比较a,b,c,c+b,a+c的大小
已知:a、b、c∈(0,+∞)且a+b+c=1,试比较a^2+b^2+c^2,ab+bc+ca,1/3的大小
比较1/a+1/b+1/c与1/a+b+c的大小
a,b,c>1,比较abc+a+b+c与ab+bc+ac+1的大小
已知a<0,b>0,c<0,且|c|>|b|>|a|,试比较a,b,c,a+b,a+c的大小
(1)设a、b、c属于R,试比较a2^+b2^+c2^与ab+bc+ca的大小
已知a、b、c是三角形的三条边 A=a/a+1 + b/b+1 B=c/c+1 试比较A 、B的大小关系
若a>b,c≠0,试比较-a*|c|与-b*|c|的大小
已知A大于B,C大于0,试比较A-C与B-C的大小