已知△ABC的三边为有理数.1)求证cosA是有理数,(2)求对任意正整数n,求证cosnA也是有理数.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/04 04:34:40
已知△ABC的三边为有理数.1)求证cosA是有理数,(2)求对任意正整数n,求证cosnA也是有理数.
![已知△ABC的三边为有理数.1)求证cosA是有理数,(2)求对任意正整数n,求证cosnA也是有理数.](/uploads/image/z/6438592-64-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E2%96%B3ABC%E7%9A%84%E4%B8%89%E8%BE%B9%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0.1%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81cosA%E6%98%AF%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%2C%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0n%2C%E6%B1%82%E8%AF%81cosnA%E4%B9%9F%E6%98%AF%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0.)
(1)求证cosA是有理数.
证明:在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,则由余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA,故cosA=(b²+c²-a²)/(2bc).因为有理数的四则运算结果仍是有理数,所以(b²+c²-a²)/(2bc)是有理数,即cosA是有理数.
(2)求对任意正整数n,求证cosnA也是有理数.
用数学归纳法证:当n=1时,由(1)知cosA是有理数,假设cos(n-1)A也是有理数,则cosnA=cos(n-1+1)A=cos(n-1)AcosA-sin(n-1)AsinA,cos(n-1)AcosA 是有理数,只要证sin(n-1)AsinA也是有理数就可以了.sin(n-1)A=√[1-cos²(n-1)A,sinA=√(1-cos²A),能否证明它们是有理数呢?
稍后.
证明:在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,则由余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA,故cosA=(b²+c²-a²)/(2bc).因为有理数的四则运算结果仍是有理数,所以(b²+c²-a²)/(2bc)是有理数,即cosA是有理数.
(2)求对任意正整数n,求证cosnA也是有理数.
用数学归纳法证:当n=1时,由(1)知cosA是有理数,假设cos(n-1)A也是有理数,则cosnA=cos(n-1+1)A=cos(n-1)AcosA-sin(n-1)AsinA,cos(n-1)AcosA 是有理数,只要证sin(n-1)AsinA也是有理数就可以了.sin(n-1)A=√[1-cos²(n-1)A,sinA=√(1-cos²A),能否证明它们是有理数呢?
稍后.
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