已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线方程是√5x－2y＝0

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/26 17:30:22

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线方程是√5x－2y＝0
(1)求双曲线的方程
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为(81/2),求k的取值范围
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设双曲线C的方程为 x2a2-y2b2=1（a＞0,b＞0）．
由题设得 {a2+b2=9ba=52,解得 {a2=4b2=5,所以双曲线方程为 x24-y25=1．
设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．
点M（x1,y1）,N（x2,y2）的坐标满足方程组 {y=kx+mx24-y25=1
将①式代入②式,得 x24-(kx+m)25=1,整理得（5-4k2）x2-8kmx-4m2-20=0．
此方程有两个一等实根,于是5-4k2≠0,且△=（-8km）2+4（5-4k2）（4m2+20）＞0．整理得m2+5-4k2＞0． ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0,y0）满足 x0=x1+x22=4km5-4k2,y0=kx0+m=5m5-4k2．
从而线段MN的垂直平分线方程为 y-5m5-4k2=-1k(x-4km5-4k2)．
此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为 (9km5-4k2,0),(0,9m5-4k2)．
由题设可得 12|9km5-4k2|•|9m5-4k2|=812．
整理得 m2=(5-4k2)2|k|,k≠0．
将上式代入③式得 (5-4k2)2|k|+5-4k2＞0,整理得（4k2-5）（4k2-|k|-5）＞0,k≠0．
解得 0＜|k|＜52或 |k|＞54．
所以k的取值范围是 (-∞,-54)∪(-52,0)∪(0,52)∪(54,+∞)．