如图(a),AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点C,AD⊥EF,垂足为D.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/16 05:31:38
如图(a),AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点C,AD⊥EF,垂足为D.
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/90/89074b16ada2759a5c42c71156848fed.jpg)
(1)求证:∠DAC=∠BAC;
(2)若直径AB=4,AD=3,试求∠BAC的度数;
(3)若把直线EF向上平移,如图(b),EF交⊙O于G、C两点,若题中的其他条件不变,这时还有与∠DAC相等的角吗?如果有请直接指出是哪一个,如果没有请说明理由.
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(1)求证:∠DAC=∠BAC;
(2)若直径AB=4,AD=3,试求∠BAC的度数;
(3)若把直线EF向上平移,如图(b),EF交⊙O于G、C两点,若题中的其他条件不变,这时还有与∠DAC相等的角吗?如果有请直接指出是哪一个,如果没有请说明理由.
![如图(a),AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点C,AD⊥EF,垂足为D.](/uploads/image/z/5177491-43-1.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%EF%BC%88a%EF%BC%89%EF%BC%8CAB%E6%98%AF%E2%8A%99O%E7%9A%84%E7%9B%B4%E5%BE%84%EF%BC%8CAC%E6%98%AF%E5%BC%A6%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E7%BA%BFEF%E5%92%8C%E2%8A%99O%E7%9B%B8%E5%88%87%E4%BA%8E%E7%82%B9C%EF%BC%8CAD%E2%8A%A5EF%EF%BC%8C%E5%9E%82%E8%B6%B3%E4%B8%BAD%EF%BC%8E)
证明:(1)连OC,
则OC=OA,
∴∠BAC=∠OCA (1分)
∵EF切⊙O于C,
∴OC⊥EF (2分)
∵AD⊥EF,
∴OC∥AD (3分)
∴∠OCA=∠DAC (4分)
∴∠DAC=∠BAC (5分)
(2)连BC,则∠ACB=∠ADC=90° (6分)
由(1)知∠DAC=∠BAC
∴△ADC∽△ACB (7分)
∴AC2=AD•AB=3×4=12
∴AC=2
3 (8分)
在Rt△ABC中,cos∠BAC=
AC
AB=
2
3
4=
3
2(9分)
∴∠BAC=30° (10分)
(3)∠BAG=∠DAC,理由如下:
证法(一):连接BC,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠BCA=90°,∠B+∠BAC=90°,
∵∠AGD+∠GAD=90°,
又∵∠B=∠AGD,
∴∠BAC=∠GAD;
即∠BAG+∠GAC=∠GAC+∠DAC,
∴∠BAG=∠DAC. (12分)
证法(二):连接BG
∵∠ACD是⊙O内接四边形ACGB的外角,
∴∠ACD=∠ABG(圆内接四边形的外角等于内对角),
∵AB为⊙O直径,
∴∠AGB=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴∠BAG=90°-∠ABG(直角三角形的两个锐角互余),
∵∠CAD=90°-∠ACD=90°-∠ABG
∴∠BAG=∠CAD(等量代换).
(1)连OC,构建平行线OC∥AD.然后由两直线平行,内错角相等推知∠OCA=∠DAC,再根据等腰三角形OAC两个底角相等的性质知,∠BAC=∠OCA,所以根据等量代换易证明:∠DAC=∠BAC;
(2)连BC,构建相似三角形△ADC∽△ACB,然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC=2
,最后在Rt△ABC中,利用余弦三角函数的定义求得∠BAC的度数;
(3)根据(2)的思路,可以直接写出答案.
则OC=OA,
∴∠BAC=∠OCA (1分)
∵EF切⊙O于C,
∴OC⊥EF (2分)
∵AD⊥EF,
∴OC∥AD (3分)
∴∠OCA=∠DAC (4分)
∴∠DAC=∠BAC (5分)
(2)连BC,则∠ACB=∠ADC=90° (6分)
由(1)知∠DAC=∠BAC
∴△ADC∽△ACB (7分)
∴AC2=AD•AB=3×4=12
∴AC=2
3 (8分)
在Rt△ABC中,cos∠BAC=
AC
AB=
2
3
4=
3
2(9分)
∴∠BAC=30° (10分)
(3)∠BAG=∠DAC,理由如下:
证法(一):连接BC,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠BCA=90°,∠B+∠BAC=90°,
∵∠AGD+∠GAD=90°,
又∵∠B=∠AGD,
∴∠BAC=∠GAD;
即∠BAG+∠GAC=∠GAC+∠DAC,
∴∠BAG=∠DAC. (12分)
证法(二):连接BG
∵∠ACD是⊙O内接四边形ACGB的外角,
∴∠ACD=∠ABG(圆内接四边形的外角等于内对角),
∵AB为⊙O直径,
∴∠AGB=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴∠BAG=90°-∠ABG(直角三角形的两个锐角互余),
∵∠CAD=90°-∠ACD=90°-∠ABG
∴∠BAG=∠CAD(等量代换).
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/79/179af6ff43a0a59c4f6d34da57c6ba8b.jpg)
(2)连BC,构建相似三角形△ADC∽△ACB,然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC=2
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(3)根据(2)的思路,可以直接写出答案.
如图(a),AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点C,AD⊥EF,垂足为D.
8、(200561辽宁)如图①,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点C,AD⊥EF,垂
如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD⊥EF于点D,∠DAC=∠BAC.
如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD⊥EF于点D,∠DAC=∠BAC.求证:EF是⊙O的切线.
ab是圆o的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD垂直EF于点D,求证EF是圆O的切线
如图,已知AB是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为D,AE⊥AB,且AE=AC,BE交圆O于点F 求证:EF·EB=AD·A
如图,直线AB与半径为2的⊙O相切于点C,D是⊙O上一点,且∠EDC=30°,弦EF∥AB,则EF的长度为( )
如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D.求证:AC平分∠BAD.
已知:如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于E点,直线EF⊥AC于F.求证:EF与⊙O相切.
如图,已知AB是圆O的直径,CD⊥AB,垂足为D,AE⊥AB,且AE=AC,BE交圆O于点F.求证:EF·EB=AD·A
如图(1),AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,若直线CD与⊙O相切于点C,AD⊥CD,垂足为D.
已知:如图,AB是⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点C,AD⊥l,垂足是D.