已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω>0 (1)若y=f(x)在[-π 4 ,2π 3 ]上单调递增,求ω的取
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/09 06:35:42
已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω>0 (1)若y=f(x)在[-π 4 ,2π 3 ]上单调递增,求ω的取值
2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移 π/6
个单位,在向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R,且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.
2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移 π/6
个单位,在向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R,且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.
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(1)已知函数y=f(x)在[−π /4 ,2π /3 ]上单调递增,且ω>0,利用正弦函数的单调性可得π /2ω ≥2π /3 ,且−π /2ω ≤−π /4 ,解出即可;
(2)利用变换法则“左加右减,上加下减”即可得到g(x)=2sin2(x+π/ 6 )+1.令g(x)=0,即可解出零点的坐标,可得相邻两个零点之间的距离.若b-a最小,则a和b都是零点,此时在区间[a,mπ+a](m∈N*)恰有2m+1个零点,所以在区间[a,14π+a]是恰有29个零点,从而在区间(14π+a,b]至少有一个零点,即可得到a,b满足的条件.进一步即可得出b-a的最小值.
解得0<ω≤3/ 4 .
(2)f(x)=2sin2x,∴把y=f(x)的图象向左平移π 6 个单位,在向上平移1个单位,得到y=2sin2(x+π 6 )+1,
∴函数y=g(x)=2sin2(x+π 6 )+1,
令g(x)=0,得x=kπ+5π/ 12 ,或x=kπ+3π/ 4 (k∈Z).
∴相邻两个零点之间的距离为π/ 3 或2π/ 3 .
若b-a最小,则a和b都是零点,此时在区间[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,mπ+a](m∈N*)分别恰有3,5,…,2m+1个零点,
所以在区间[a,14π+a]是恰有29个零点,从而在区间(14π+a,b]至少有一个零点,
∴b−a−14π≥π/ 3 .
另一方面,在区间[5π/ 12 ,14π+π /3 +5π /12 ]恰有30个零点,
因此b-a的最小值为14π+π/ 3 =(43π) /3 .
(2)利用变换法则“左加右减,上加下减”即可得到g(x)=2sin2(x+π/ 6 )+1.令g(x)=0,即可解出零点的坐标,可得相邻两个零点之间的距离.若b-a最小,则a和b都是零点,此时在区间[a,mπ+a](m∈N*)恰有2m+1个零点,所以在区间[a,14π+a]是恰有29个零点,从而在区间(14π+a,b]至少有一个零点,即可得到a,b满足的条件.进一步即可得出b-a的最小值.
解得0<ω≤3/ 4 .
(2)f(x)=2sin2x,∴把y=f(x)的图象向左平移π 6 个单位,在向上平移1个单位,得到y=2sin2(x+π 6 )+1,
∴函数y=g(x)=2sin2(x+π 6 )+1,
令g(x)=0,得x=kπ+5π/ 12 ,或x=kπ+3π/ 4 (k∈Z).
∴相邻两个零点之间的距离为π/ 3 或2π/ 3 .
若b-a最小,则a和b都是零点,此时在区间[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,mπ+a](m∈N*)分别恰有3,5,…,2m+1个零点,
所以在区间[a,14π+a]是恰有29个零点,从而在区间(14π+a,b]至少有一个零点,
∴b−a−14π≥π/ 3 .
另一方面,在区间[5π/ 12 ,14π+π /3 +5π /12 ]恰有30个零点,
因此b-a的最小值为14π+π/ 3 =(43π) /3 .
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