若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/30 22:32:38
若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0≤x≤3时,y2的最大值.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0≤x≤3时,y2的最大值.
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(1)设顶点为(h,k)的二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,
当a=2,h=3,k=4时,
二次函数的关系式为y=2(x-3)2+4.
∵2>0,
∴该二次函数图象的开口向上.
当a=3,h=3,k=4时,
二次函数的关系式为y=3(x-3)2+4.
∵3>0,
∴该二次函数图象的开口向上.
∵两个函数y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4顶点相同,开口都向上,
∴两个函数y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4是“同簇二次函数”.
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为:y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4.
(2)∵y1的图象经过点A(1,1),
∴2×12-4×m×1+2m2+1=1.
整理得:m2-2m+1=0.
解得:m1=m2=1.
∴y1=2x2-4x+3
=2(x-1)2+1.
∴y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5
=(a+2)x2+(b-4)x+8
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”,
∴y1+y2=(a+2)(x-1)2+1
=(a+2)x2-2(a+2)x+(a+2)+1.
其中a+2>0,即a>-2.
∴
b−4=−2(a+2)
8=(a+2)+1.
解得:
a=5
b=−10.
∴函数y2的表达式为:y2=5x2-10x+5.
∴y2=5x2-10x+5
=5(x-1)2.
∴函数y2的图象的对称轴为x=1.
∵5>0,
∴函数y2的图象开口向上.
①当0≤x≤1时,
∵函数y2的图象开口向上,
∴y2随x的增大而减小.
∴当x=0时,y2取最大值,
最大值为5(0-1)2=5.
②当1<x≤3时,
∵函数y2的图象开口向上,
∴y2随x的增大而增大.
∴当x=3时,y2取最大值,
最大值为5(3-1)2=20.
综上所述:当0≤x≤3时,y2的最大值为20.
当a=2,h=3,k=4时,
二次函数的关系式为y=2(x-3)2+4.
∵2>0,
∴该二次函数图象的开口向上.
当a=3,h=3,k=4时,
二次函数的关系式为y=3(x-3)2+4.
∵3>0,
∴该二次函数图象的开口向上.
∵两个函数y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4顶点相同,开口都向上,
∴两个函数y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4是“同簇二次函数”.
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为:y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4.
(2)∵y1的图象经过点A(1,1),
∴2×12-4×m×1+2m2+1=1.
整理得:m2-2m+1=0.
解得:m1=m2=1.
∴y1=2x2-4x+3
=2(x-1)2+1.
∴y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5
=(a+2)x2+(b-4)x+8
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”,
∴y1+y2=(a+2)(x-1)2+1
=(a+2)x2-2(a+2)x+(a+2)+1.
其中a+2>0,即a>-2.
∴
b−4=−2(a+2)
8=(a+2)+1.
解得:
a=5
b=−10.
∴函数y2的表达式为:y2=5x2-10x+5.
∴y2=5x2-10x+5
=5(x-1)2.
∴函数y2的图象的对称轴为x=1.
∵5>0,
∴函数y2的图象开口向上.
①当0≤x≤1时,
∵函数y2的图象开口向上,
∴y2随x的增大而减小.
∴当x=0时,y2取最大值,
最大值为5(0-1)2=5.
②当1<x≤3时,
∵函数y2的图象开口向上,
∴y2随x的增大而增大.
∴当x=3时,y2取最大值,
最大值为5(3-1)2=20.
综上所述:当0≤x≤3时,y2的最大值为20.
若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
怎样求出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向?
确定下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标:
求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴:
求下列二次函数图象的开口方向 顶点坐标和对称轴
某二次函数的图象的顶点坐标(2,-1),且它的形状、开口方向与抛物线y=-x2相同,则这个二次函数的解析式为______
两个二次函数开口方向大小相同 那么他们什么相等
如何判断 二次函数的开口方向?
写出一个顶点是(5,0),形状、开口方向与抛物线y=-2x2都相同的二次函数解析式______.
二次函数的图象
求下列二次函数开口方向.对称轴.顶点坐标