设A为m*n实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知B=λE+(A的转置乘以A).证明,当λ大于0时,B为正定矩阵.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/30 11:33:30
设A为m*n实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知B=λE+(A的转置乘以A).证明,当λ大于0时,B为正定矩阵.
(要求分析B的特征值全大于零来证明,具体该怎么证明?)
(要求分析B的特征值全大于零来证明,具体该怎么证明?)
一定要分析特征值的话可以这样.
首先由A为实矩阵,且B' = λE'+(A'A)' = λE+A'A = B,可知B为实对称阵.
因此B的特征值均为实数,要证明B正定,只需证明其特征值均大于0.
设b是B的一个特征值,则b为实数,且存在属于b的实特征向量X.
即有X ≠ 0,BX = bX.
考虑于是b(X'X) = X'(bX) = X'BX = λX'X+X'A'AX = λ(X'X)+(AX)'AX.
由AX是实向量,有(AX)'AX ≥ 0,又X是非零实向量,有X'X > 0.
于是当λ > 0,有b(X'X) > 0,进而有b > 0.
即B的特征值均为正数,B正定.
实际上直接用X'BX > 0来证明B正定更直接.
首先由A为实矩阵,且B' = λE'+(A'A)' = λE+A'A = B,可知B为实对称阵.
因此B的特征值均为实数,要证明B正定,只需证明其特征值均大于0.
设b是B的一个特征值,则b为实数,且存在属于b的实特征向量X.
即有X ≠ 0,BX = bX.
考虑于是b(X'X) = X'(bX) = X'BX = λX'X+X'A'AX = λ(X'X)+(AX)'AX.
由AX是实向量,有(AX)'AX ≥ 0,又X是非零实向量,有X'X > 0.
于是当λ > 0,有b(X'X) > 0,进而有b > 0.
即B的特征值均为正数,B正定.
实际上直接用X'BX > 0来证明B正定更直接.
设A为m*n实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知B=λE+(A的转置乘以A).证明,当λ大于0时,B为正定矩阵.
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n
设A,A-E都是n阶正定矩阵,证明E-A^-1为正定矩阵
设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R(B)=n,证明B'AB也是正定矩阵
设A为m×n实矩阵(m≠n).E是n×n单位矩阵,证明E+A∧TA是正定对称阵.
关于正定矩阵的 急设A为n阶实对称矩阵 证明 B=I+A的平方 为正定矩阵设A为n阶正定矩阵,AB为是对称矩阵,则AB为
设m×n实矩阵A的秩为n,证明:矩阵AtA为正定矩阵.
设A,B为N阶矩阵,满足2(B^-1)A=A-4E,E为N阶单位矩阵,证明:B-2E为可逆矩阵,并求它的逆矩阵
设A为m阶正定阵,B为m*n阶矩阵,证明:B^tAB为正定阵的充要条件为R(B)=n
设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA.
证明:A,B均为N阶正定矩阵,则A+B也为正定矩阵
设A,B为n阶矩阵,且A与B相似,E为n阶单位矩阵,则( )