（2013•汕头二模）已知动点P（x，y）与两个定点M（-1，0），N（1，0）的连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/08/05 06:07:05

（2013•汕头二模）已知动点P（x，y）与两个定点M（-1，0），N（1，0）的连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状；
（3）当λ=2时，对于平面上的定点E(−

，0)，F(

，0)

解、（1）由题设可知；PM，PN的斜率存在且不为0，
则由k_PM•k_PN=λ得：
y
x+1•
y
x−1＝λ，即x2−
y2
λ＝1  (y≠0)．
所以动点P的轨迹C的方程为x2−
y2
λ＝1  (y≠0)；
（2）讨论如下：
①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线（除去顶点）
②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆（除去长轴两个端点）
③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆（除去点（-1，0），（1，0））
④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴两个端点）；
（3）当λ=2时，轨迹C的方程为x2−
y2
2＝1  (y≠0)，显然定点E、F为其左右焦点．
假设存在这样的点P，使得∠EPF=120°，记∠EPF=θ，
设PE=m，PF=n，EF=2
3，
那么在△EPF中：由|m-n|=2，得m²+n²-2mn=4，
(2
3)2＝m2+n2−2mncosθ，
两式联立得：2mn（1-cosθ）=8，所以mn＝
4
1−cosθ＝
4
1−cos120°=
8
3．

S△EPF＝
1
2mnsin120°＝
1
2×
8
3×

3
2＝
2