(2013•唐山二模)函数f(x)=2sinπx−3x−x2所有零点的和等于( )
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/17 21:26:02
(2013•唐山二模)函数f(x)=2sinπx−
3x−x
![]() 依题意,0≤x≤3,函数f(x)=2sinπx-
3x−x2的零点,即方程2sinπx= 3x−x2的解. 令h(x)=2sinπx,则其周期T=2; 令y=g(x)= 3x−x2, 则y2+(x− 3 2)2= 9 4(y≥0),其轨迹为以( 3 2,0)为圆心, 3 2为半径的上半圆; ∵h(x)=2sinπx与g(x)= 3x−x2都关于x= 3 2对称,那么只要判断解的个数就可以. ![]() ∵h(0)=g(0),两函数都从原点出发(0,0)是一个交点; 又h( 1 2)=2>g( 1 2)= 5 2,f( 1 2)=h( 1 2)-g( 1 2)>0; h(1)=0,g(1)= 2,f(1)=h(1)-g(1)<0, ∴h(x)=g(x)区间(0, 1 2)内有1个交点,在区间( 1 2,1)内有1个交点; 同理可知,h(x)=g(x)区间(2,2 1 2)内有1个交点,在区间(2 1 2,3)内有1个交点,在x=3处有1个交点; 由h(x)=2sinπx与g(x)= 3x−x2都关于x= 3 2对称得:6个交点的横坐标相加等于3×(2× 3 2)=9. 所有零点的和是9. 故选C
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