设向量α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是Ax=0的解,即Aβ≠0.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/30 19:53:19
设向量α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是Ax=0的解,即Aβ≠0.
试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
![设向量α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是Ax=0的解,即Aβ≠0.](/uploads/image/z/2220240-48-0.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%90%91%E9%87%8F%CE%B11%EF%BC%8C%CE%B12%EF%BC%8C%E2%80%A6%EF%BC%8C%CE%B1t%E6%98%AF%E9%BD%90%E6%AC%A1%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84Ax%3D0%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9F%BA%E7%A1%80%E8%A7%A3%E7%B3%BB%EF%BC%8C%E5%90%91%E9%87%8F%CE%B2%E4%B8%8D%E6%98%AFAx%3D0%E7%9A%84%E8%A7%A3%EF%BC%8C%E5%8D%B3A%CE%B2%E2%89%A00%EF%BC%8E)
假设存在一组常数k,k1,…,kt,使得:
kβ+
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1ki(β+αi)=0,
即:(k+
t
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i=1ki)β=
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1(−ki)αi.①,
①上式两边同时乘以矩阵A,则有
(k+
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1ki)Aβ=
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1(−ki)Aαi.
因为:α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,
所以:Aαi=0,故有
(k+
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1ki)Aβ=0,
又因为:Aβ≠0,
所以:k+
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1ki=0,②,
将②代入①式左端,得:
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1(−ki)αi=0.
因为:α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,
所以:α1,α2,…,αt是线性无关,
从而:k1=…=kt=0,
将上式又代入②式得:
k=−
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1ki=0,
所以:k=k1=…=kt=0,
因此,向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关,证毕.
kβ+
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1ki(β+αi)=0,
即:(k+
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1ki)β=
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1(−ki)αi.①,
①上式两边同时乘以矩阵A,则有
(k+
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1ki)Aβ=
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1(−ki)Aαi.
因为:α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,
所以:Aαi=0,故有
(k+
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1ki)Aβ=0,
又因为:Aβ≠0,
所以:k+
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1ki=0,②,
将②代入①式左端,得:
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1(−ki)αi=0.
因为:α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,
所以:α1,α2,…,αt是线性无关,
从而:k1=…=kt=0,
将上式又代入②式得:
k=−
t
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f9/3f97deabdaa027ee34f6d3ff19c6624b.jpg)
i=1ki=0,
所以:k=k1=…=kt=0,
因此,向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关,证毕.
设向量α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是Ax=0的解,即Aβ≠0.
已知向量组α1,α2,α3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系
设X0是非齐次线性方程组AX=b的一个解向量,α1,α2,…αn-r是对应齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,试证
设α1、α2、α3是线性方程组Ax=0的基础解系,β是Ax=b的解,求证向量组α1、α2、α3、β线性无关
1.向量组A1,A2,A3...An是线性方程组AX=0的一个基础解系,向量组
设α1,α2,α3,α4是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.
设A为3*4矩阵,A的秩为3,设阿尔法1,阿尔法2为线性方程组的AX=0的两个不同的解向量,刚AX=0的基础解系为-
设A是n阶方阵,R(A)=n - 2,则线性方程组AX=0的基础解系所含向量的个数是(),
若n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有2个解向量,则R(A)=
设3阶矩阵A的各行元素之和都为2,向量α1=(-1,1,1)T,α2=(2,-1,1)T是齐次线性方程组AX=0的解
线性方程组AX=0的基础解系含有解向量的个数是多少?
线性代数:设A是4阶矩阵,若齐次线性方程组Ax=0的基础解析中含有一个解向量,则AA*=