已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<12,则不等式f(x
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/22 21:15:41
已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<
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根据题意,设g(x)=f(x)-(
1
2x+
1
2),x∈R;
∴g′(x)=f′(x)-
1
2<0,
∴g(x)在R上是单调减函数;
又∵g(1)=f(1)-(
1
2+
1
2)=0,
∴当x>1时,g(x)<0恒成立,
即f(x)<
1
2x+
1
2在x>1时恒成立,
∴原不等式的解集是(1,+∞).
故答案为:(1,+∞).
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2x+
1
2),x∈R;
∴g′(x)=f′(x)-
1
2<0,
∴g(x)在R上是单调减函数;
又∵g(1)=f(1)-(
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2+
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2)=0,
∴当x>1时,g(x)<0恒成立,
即f(x)<
1
2x+
1
2在x>1时恒成立,
∴原不等式的解集是(1,+∞).
故答案为:(1,+∞).
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