求圆 x^2+y^2=1的一条切线,使此切线与抛物线y=x^2-2所围面积取最小值,并求此最小值.

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/13 13:32:05

设切线方程为 y=kx+b,其中 |b|/√(k²+1)=1,即切线与圆点的距离等于 1（圆半径）；
圆包含在抛物线内部,两者都关于 y 轴对称,所以当切线与抛物线所围区间面积最小时,b0 计算,b²=k²+1；
将直线方程代入抛物线方程：kx+b=x²-2,
方程两根 x1+x2=k,x1*x2=-b-2,x2-x1=√[k²+4(b+2)]；
则切线与抛物线所围区间的面积 S=∫{x=x1→x2}[(kx+b)-(x²-2)]dx=(kx²/2)-x³/3+(b+2)x|{x1,x2}
=k(x2²-x1²)/2-(x2³-x1³)/3+(b+2)(x2-x1)
=k(x2-x1)(x2+x1)/2-(x2-x1)[(x1+x2)²-x1*x2]/3+(b+2)(x2-x1)
=k*√[k²+4(b+2)]*k/2-√[k²+4(b+2)]*[k²+(b+2)]/3+(b+2)*√[k²+4(b+2)]；
=√[k²+4(b+2)]*[(k²/2)-(k²+b+2)/3+(b+2)]
=√(b²+4b+7)(b²+4b+7)/6
=[(b²+4b+7)^1.5]/6……u=√(b²+4b+7)≥√3；
当 u=√3 时,S=√3/2 最小,对应 b=-2,k=±√3；
再问： |b|/√(k^2+1)=1是怎么得到的，我知道切线与圆点的距离等于1，但上面的表达式不明白
再答：有公式：原点(0,0)到直线 y-kx-b=0 的距离是 |0-k*0-b|/√(1²+k²)=|b|/√(k²+1)；

过原点作曲线y=e得x次方得切线,求(1)此切线得方程(2)求该切线与曲线及y轴所围成平面图形得面积S着急求此题答案用导数求面积最小值抛物线y=ax^2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S, 求过点M(1.2)作抛物线y=2x-x平方的切线求此切线方程求圆x^2 y^2=1的切线和两坐标轴围成的三角形的面积的最小值,并求取得最小值时切线的方程0分求圆x^2 +y^2=1的切线和两坐标轴围成的三角形的面积的最小值,并求取得最小值时切线的方程数学题求切线方程y=1/8x^2+1的一条切线平行于y=4x-5,求此切线方程与经过切点的法线方程过抛物线y=x^2上一点p(a,a^2)作切线,问a取何值时所作切线与抛物线y=-x^2+4x-1所围成的图形面积最小? 在直线x-y+2根号2=0,使到圆x^2+y^2=1的切线最短,并求此切线的长已知抛物线y=2x平方和直线y=4x （1）求此抛物线与直线所围成图形的面积曲线y=根号x,已知上的一条切线,求曲线和切线和x=0,x=2所围成的最小面积求曲线y=lnx(2≤x≤6)的一条切线,使该切线与直线x=2,x=6及曲线y=lnx所围成图形面积最小. 求曲线y=sinx和它在x=pi/2处的切线及直线x=pi所围成图形的面积,并求此图形绕x轴旋转所得旋转体的体积