设函数f（x）=1(x+1)ln(x+1)（x＞-1且x≠0）

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/07 21:11:07

设函数f（x）=

(x+1)ln(x+1)

（1）f′（x）=-
ln(x+1)+1
(x+1)2ln(x+1)2，
所以当f′（x）＞0，即ln（x+1）+1＜0，即ln（x+1）＜-1，所以x+1＜
1
e，即-1＜x＜
1
e-1，故函数在区间（-1，
1
e-1）内单调递增；
当f′（x）＜0，即
1
e-1＜x＜0或x＞0，所以函数在区间（
1
e−1，0）和（0，+∞）内单调减．
故函数的单调增区间为（-1，
1
e-1），单调减区间为（
1
e−1，0）和（0，+∞）．
（2）由f′（x）=-
ln(x+1)+1
(x+1)2ln(x+1)2=0可得x=
1
e−1，
由（1）可得f（x）在（-1，
1
e-1）内单调递增，在（
1
e−1，0）内单调减，
所以在区间（-1，0）上，当x=
1
e−1时，f（x）取得极大值即最大值为f（
1
e−1）=-e．
又因为当x从-1的右边靠近-1时，0＜x+1＜1，所以x→-1时f（x）→-∞；当x从0的左边靠近0时，f（x）→-∞；
所以当x∈（-1，0）时，f（x）∈（-∞，-e]．
在区间（0，+∞）上f（x）是减函数，并且f（x）＞0，
当x从0的右边靠近0时，f（x）→+∞；当x→+∞时，由函数的解析式可得f（x）→0．
所以当x∈（0，+∞）时，f（x）∈（0，+∞）．
故f（x）的值域为（-∞，-e]∪（0，+∞）
（3）∵-1＜x＜0，∴0＜x+1＜1，从而1＜
1
x+1，
由题意可得：
1
2x+1＞（x+1）^m对任意x∈（-1，0）恒成立，
所以两边取自然对数得：
1
x+1ln2＞mln(x+1)
所以m＞
ln2
(x+1)ln(x+1)，对x∈（-1，0）恒成立，则m大于
ln2
(x+1)ln(x+1)的最大值，
由（2）可得当x∈（-1，0）时，f（x）=
1
(x+1)ln(x+1)∈（-∞，-e]，
所以
ln2
(x+1)ln(x+1)取得最大值为-eln2，所以m＞-eln2．
所以实数m的取值范围为（-eln2，+∞）．

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