设α1,α2,...,αr线性无关,而β1=α1,β2=α1

证明:设ai1,ai2,...,air是a1,a2,...,as中含r个向量的线性无关的部分组因为ai1,ai2,...,air线性无关(1)所以若证ai1,ai2,...,air是一个极大无关组只需

这个不要反证,直接证明就可以了.证明:设k1α1+k2(α1+α2)+k3(α1+α2+α3)=0.则（k1+k2+k3)α1+(k2+k3)α2+k3α3=0因为α1,α2,α3线性无关所以k1+k

在线性无关和线性相关的定义中说的是一组不全为零的系数,所以你最后的问题说明你没有理解定义.至于题目的证法很简单：首先,若k1,k2,k3...kr全为零,则k1α1+k2α2+…+krαr=0显然成立

为了方便我用a代表alpha,b代表beta设有k0b+k1(b+a1)+k2(b+a2)+……+kr(b+ar)=0则有(k0+k1+k2……+kr)b+k1a1+k2a2+……+krar=0（2）

(1)k1a1+k2a2+...+krar=0任意一项移到方程右边k1a1+krar=kiai若ki=0因为其余r-1个线性无关所以其余系数都为0即全为0(2)任意r-1个向量都线性无关,则任意s(s

因为α2,α3,α4线性无关所以α2,α3线性无关又因为α1,α2,α3线性相关所以α1可表示为α2,α3的线性组合所以α1可表示为α2,α3,α4的线性组合

因为(Aα1,Aα2,...,Aαn)=A(α1,α2,...,αn)当A可逆时,r(Aα1,Aα2,...,Aαn)=r(α1,α2,...,αn)=n.所以Aα1,Aα2,...,Aαn线性无关.

解:111123r2-r1111012r1-r210-1012基础解系为c=(1,-2,1)^T所以W的正交补为c生成的子空间L(c).

反证法设其线性相关,则存在不全为0的一组数K1、K2、……Kr,使得K1β1+K2β2+……Krβr=0代入即K1（α1+αr）+……Kr（αr）=0整理后得K1α1+K2α2+……（K1+K2+……

其实I能够被II表示,说明I的秩小于等于II的秩；若I线性无关,那么r=r(I)再问：谢了，挺好记的有个疑问：“其实I能够被II表示，说明I的秩小于等于II的秩”这个怎么证的啊？再答：从直观理解上来说

设有r个实数k1,k2...kr,使得k1β1+k2β2+...+krβr=0;即k1(α1+αr)+k2(α2+αr)+...+kr-1(αr-1+αr)+krαr=0;k1α1+k2α2+...+

反证法b=k1α1+k2α2+...+krαr（1）=m1α1+m2α2+...+mrαr(2)(1)-(2)(k1-m1)α1+(k2-m2)α2+...+(kr-mr)αr=0=>k1=m1and

由已知(β1,β2...βn)=(α1,α2,.αn)KK=100...1110...0011...0.000...1因为α1,α2,.αn线性无关所以r(β1,β2...βn)=r(K)因为|K|=

本体有特殊性,可以写出从α到β的系数行列式,由于α是线性无关的,故只需要系数行列式不为零,β就无关,否则相关.再问：首先谢谢哈其次再问一下给的向量组是无关的那么系数行列式不等0β就无关那要是给的向量组

A=（α1,α2,α3）B=（α1+α3,α2+α3,α3）则B=AKK=100010111｜K｜=1,所以K可逆,从而A与B的秩相等因为α1,α2,α3线性无关,所以A的秩为3从而B的秩也为3,从而

(1)能.由已知α2,...,αn线性无关所以α2,...,αn-1线性无关.[整体无关则部分无关]再由已知α1,α2,...,αn-1线性相关所以α1能由α2,α3,...,αn-1线性表示.[线性

记矩阵A=(α1,α2,...,αr),由α1,α2,...,αr线性无关知道A的秩是r.由题意,A'β=0（'代表转置）.设x1α1+x2α2+...+xrαr+yβ=0,则-yβ=x1α1+x2α

1.假设αr可由α1,α2,.,αr-1线性表出,则αr=k1α1+k2kα2+…+kr-1αr-1由条件知β=P1α1+P2α2+…+Prαr∴β=P1α1+P2α2+…+Pr(k1α1+k2kα2

不能.反证.因为α2α3α4线性无关所以α2α3线性无关又因为α1α2α3线性相关所以α1可由α2α3线性表示假如α4能由α1α2α3线性表示则α4能由α2α3线性表示这与α2α3α4线性无关矛盾.

记a'=a^T,B是线性方程组的解即有B'α1=0,Bα2=0,...,Bαr=0设有xB+x1α1+...+xrαr=0=>xB=-(x1α1+...+xrαr)=>xB'=-(x1α1+...+x