（2012•汕头二模）已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/08 23:38:37

（2012•汕头二模）已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．
（1）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a=4时，若函数y=f（x）-m有三个不同的零点，求m的取值范围；
（3）设定义在D上的函数y=h（x）在点p（x₀，h（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x₀时，若

h(x)−g(x)

x−x

（1）∵f（x）=x²-（a+2）x+alnx，
∴f′（x）=2x-（a+2）+
a
x=
2x2−(a+2)x+a
x＝
(2x−a)(x−1)
x，其中x＞0，
令f'（x）=0，得x=1或x=
a
2．
∵a＞2，∴
a
2＞1．
当0＜x＜1及x＞
a
2时，f'（x）＞0；
当1＜x＜
a
2时，f'（x）＜0；
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（
a
2，+∞）．
（2）当a=4时，f（x）=x²-6x+4lnx，f′（x）=2x+
4
x-6=
2x2−6x+4
x=
2(x−1)(x−2)
x，其中x＞0，
当x∈（0，1），（2，+∞）时，f^′（x）＞0．
当x∈（1，2）时，f^′（x）＜0．
∴f（x）在x∈（0，1），（2，+∞）时为增函数，
在x∈（1，2）时为减函数．
∴f（x）的极大值为f（1）=-5，极小值为f（2）=4ln2-8．
要使函数y=f（x）-m有三个不同的零点，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有三个不同交点，
如图，则m的取值范围是（4ln2-8，-5）．
（3）由（2）知，当a=4时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为：
y=m（x）=(2x0+
4
x0−6)(x−x0)+x02−6x0+4lnx0，
设φ（x）=f（x）-m（x）=x2−6x+4lnx−(2x0+
4
x0−6)(x−x0)−(x02−6x0+4lnx0)，
则φ（x₀）=0．
ϕ′（x）=2x+
4
x-6-（2x₀+
4
x0-6）=2（x-x₀）（1-
2
xx0）=
2
x（x-x₀）（x-
2
x0）
若x₀＜

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