已知椭圆C:X^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的上顶点为A,左右焦点为F1,F2,且椭圆过P(4/3,b
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/29 04:48:43
已知椭圆C:X^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的上顶点为A,左右焦点为F1,F2,且椭圆过P(4/3,b/3)
以AP为直径的圆恰好过F2
若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,在x轴上是否存在两定点,使其到直线l的距离之积为定值?若存在,求两定点坐标;若不存在,请说明理由
我已求出C:X^2/2+y^2=1
以AP为直径的圆恰好过F2
若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,在x轴上是否存在两定点,使其到直线l的距离之积为定值?若存在,求两定点坐标;若不存在,请说明理由
我已求出C:X^2/2+y^2=1
(1)因为椭圆过点P(4/3,b/3),所以16/9a2+1/9=1,解得a2=2,
又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2垂直于F2P,即-b/c*(b/3)/[4/3-c]=-1,b^2=c(4-3c).
而b^2=a^2-c^2=2-c^2,所以c^2-2c+1=0,解得c^2=1,
故椭圆C的方程是x2/2+y2=1.
(2)①当直线l斜率存在时,设直线l方程为y=kx+p,代入椭圆方程得
(1+2k2)x2+4kpx+2p2-2=0.
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点,所以
△=16k2p2-4(1+2k2)(2p2-2)=8(1+2k2―p2)=0,
即 1+2k2=p2.
设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则
|ks+p|/根号(k2+1)*|kt+p|/根号(k2+1)=|k2st+kp(s+t)+p2|/(k2+1)=1,
即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).
由(*)恒成立,得st+1=0,s+t=0.
解得s=1,t=-1,或s=-1,t=1,
而(**)不恒成立.
②当直线l斜率不存在时,直线方程为x=土根号2时,
定点(-1,0)、F2(1,0)到直线l的距离之积d1 d2=(根号2-1)(根号2+1)=1.
综上所述,存在二个定点是(-1,0),(1,0),使其到直线l的距离之积为定值是1.
又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2垂直于F2P,即-b/c*(b/3)/[4/3-c]=-1,b^2=c(4-3c).
而b^2=a^2-c^2=2-c^2,所以c^2-2c+1=0,解得c^2=1,
故椭圆C的方程是x2/2+y2=1.
(2)①当直线l斜率存在时,设直线l方程为y=kx+p,代入椭圆方程得
(1+2k2)x2+4kpx+2p2-2=0.
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点,所以
△=16k2p2-4(1+2k2)(2p2-2)=8(1+2k2―p2)=0,
即 1+2k2=p2.
设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则
|ks+p|/根号(k2+1)*|kt+p|/根号(k2+1)=|k2st+kp(s+t)+p2|/(k2+1)=1,
即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).
由(*)恒成立,得st+1=0,s+t=0.
解得s=1,t=-1,或s=-1,t=1,
而(**)不恒成立.
②当直线l斜率不存在时,直线方程为x=土根号2时,
定点(-1,0)、F2(1,0)到直线l的距离之积d1 d2=(根号2-1)(根号2+1)=1.
综上所述,存在二个定点是(-1,0),(1,0),使其到直线l的距离之积为定值是1.
已知椭圆C:X^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的上顶点为A,左右焦点为F1,F2,且椭圆过P(4/3,b
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>c>0)的左右焦点分别为F1.F2,过椭圆上一点P作圆F2:(x-c
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,P为椭圆C上任意一点,已
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2为左右焦点,A为右顶点,l为左准线,过F1的直线
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1、F2分别为椭圆的左右焦点,A为椭圆的上顶点,
6题已知椭圆C:方程略(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,离心率e=跟号2/2,且椭圆C过抛物线X平方=-4y的焦点1
已知椭圆求x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别为f1,f2,若以f2为圆心,b-c为半径作园f2,过椭圆上一
如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左右焦点,A为椭圆上顶点,
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点p(3,4),F1、F2为椭圆的两个焦点,且满足PF1⊥P
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右顶点为A,B,左右焦点为F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B
已知F1,F2是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且向量PF1垂直向
已知F1 F2是椭圆C:X^2/a^2 y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥PF2.