搜搜做题作业网抛物线高考题 证明直线过原点
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/23 13:56:04
抛物线高考题 证明直线过原点
设抛物线y^2=2px（p>0）的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线准线上,且BC//x轴,证明AC经过原点.
设抛物线y^2=2px（p>0）的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线准线上,且BC//x轴,证明AC经过原点.
证明
[[1]]
易知,抛物线y²=2px (p＞0)
其焦点F(p/2, 0)
其准线方程为: x=-p/2.
[[2]]
由题设,可设坐标
A(2pa², 2pa)
B(2pb²,2pb)
C(-p/2, 2pb)
∵直线AB过焦点F,
即三点A,F,B共线.
∴由三点共线条件可得:4ab=-1.
结合4ab=-1可知
行列式:
|2pa², 2pa, 1|
|0, 0, 1|
|-p/2, 2pb, 1|
=-p²a-4p²a²b
=-p²a(1+4ab)
=0
∴由三点共线条件可知,
A,O,C三点共线.
[[1]]
易知,抛物线y²=2px (p＞0)
其焦点F(p/2, 0)
其准线方程为: x=-p/2.
[[2]]
由题设,可设坐标
A(2pa², 2pa)
B(2pb²,2pb)
C(-p/2, 2pb)
∵直线AB过焦点F,
即三点A,F,B共线.
∴由三点共线条件可得:4ab=-1.
结合4ab=-1可知
行列式:
|2pa², 2pa, 1|
|0, 0, 1|
|-p/2, 2pb, 1|
=-p²a-4p²a²b
=-p²a(1+4ab)
=0
∴由三点共线条件可知,
A,O,C三点共线.
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