反比例函数与勾股定理结合（只能用初二知识解答：

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/11 04:30:34

反比例函数与勾股定理结合（只能用初二知识解答：
已知,如图17,直线Y=-2x+4交X轴于A,交Y轴于B,反比例函数y=x分之2与直线AB交于点C.
（1）点C是线段AB的中点吗?为什么?

（2）过C作CM⊥AN分别交OA于M,交OB于N,连接MN,试判断：MN²/（BN²+AM²）是否是定值,请求出这个定值!

呃

（1）点C是线段AB的中点 .
∵ y=-2x+4 ,
∴ A（2 ,0）,B（0 ,4）,
∴ OA=2 ,0B=4 ,
∵ y= -2x+4 ,
y= 2/x ,
解方程组得：
x=1 ,
∴ y=2/1=2 ,
∴ C（1 ,2）,
过C作CD⊥y 轴交于D ,
∴ OD=2=BD ,CD//x 轴 ,
∴ CD是△BOA的中位线 ,
∴ 点C是线段AB的中点 .
（2）,MN²/（BN²+AM²）是定值 ,这个定值是 1 .
解法1：
过C作CM⊥x 轴交于M ,过C作CN⊥y 轴交于N ,
∴ CN//x 轴 ,CM//y 轴 ,CM⊥CN ,
∵ AC=BC ,
∴ CM、CN都是△BOA的中位线 ,
∴ OM=AM=1 ,ON=BN=2 ,
∴ MN² = OM²+ON² = 1²+2² = √5 ；
BN²+AM² = 2² +1² = √5 ；
∴ MN² /（BN²+AM²）= √5 / √5 = 1 .
解法2：
设M点与A点重合 ,
∴ AM= 0 ,
过C作CN⊥AB 交y 轴于N ,
∴ CN⊥CM ,
∵ AC=BC ,CN⊥AB ,
∴ CN是AB的中垂线 ,
∴ MN=AN=BN ,
∴ MN² /（BN²+AM²）= MN² /（BN²+0）= 1 .
解法3：
设AM=x ,BN=y ,
则OM=2-x ,ON=4-y ,
∵ MN²=OM²+ON²,
∴ MN²=(2-x)²+(4-y)²=x²+y²-4x-8y+20 ,
∵ CM²=2²+(1-x)²=x²-2x+5 ,CN²=1²+(y-2)²=y²-4y+5 ,
∴ MN²=CM²+CN²=x²+y²-2x-4y+10 ,
【PS：∵ (1-x)²=(x-1)²,∴ 无论x＞1或x＜1,计算结果都一样.】
∴ x²+y²-4x-8y+20=x²+y²-2x-4y+10 ,
∴ x=5-2y ,
∴ MN²/ (BN²+AM²)
= (x²+y²-4x-8y+20) / (y²+x²)
= [x²+y²-4(5-2y)-8y+20] / (y²+x²)
= (x²+y²) / (y²+x²)
= 1 .
∴ 综上所述,MN² /（BN²+AM²）是定值 ,这个定值是 1 .

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