(2010•江门模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻两对称轴之间的距
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/28 17:35:38
(2010•江门模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π.
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式.
(Ⅱ)若sinα+f(α)=
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式.
(Ⅱ)若sinα+f(α)=
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(I)∵f(x)为偶函数
∴sin(-ωx+ϕ)=sin(ωx+ϕ)
即2sinωxcosϕ=0恒成立
∴cosϕ=0,
又∵0≤ϕ≤π,∴ϕ=
π
2(3分)
又其图象上相邻对称轴之间的距离为π
∴T=2π∴ω=1
∴f(x)=cosx(6分)
(II)∵原式=
sin2α−cos2α+1
1+tanα=
2sinαcosα−1+2sin2α+1
1+
sinα
cosα=2sinαcosα(10分)
又∵sinα+cosα=
2
3,∴1+2sinαcosα=
4
9(11分)
即2sinαcosα=−
5
9,故原式=−
5
9(12分)
∴sin(-ωx+ϕ)=sin(ωx+ϕ)
即2sinωxcosϕ=0恒成立
∴cosϕ=0,
又∵0≤ϕ≤π,∴ϕ=
π
2(3分)
又其图象上相邻对称轴之间的距离为π
∴T=2π∴ω=1
∴f(x)=cosx(6分)
(II)∵原式=
sin2α−cos2α+1
1+tanα=
2sinαcosα−1+2sin2α+1
1+
sinα
cosα=2sinαcosα(10分)
又∵sinα+cosα=
2
3,∴1+2sinαcosα=
4
9(11分)
即2sinαcosα=−
5
9,故原式=−
5
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