24．(本题满分l2分) 将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/24 19:15:15

24．(本题满分l2分) 将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A
24．(本题满分l2分)
将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,
点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(–3,0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当
△APE的面积最大时,求点P的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△AGC的面积与（2）中△APE的最
大面积相等?若存在,请求出点G的坐标；若不存在,请说明理由．

分析：（1）已知OA、OC的长,可得A、C的坐标,即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）设出点P的横坐标,表示出CP的长,由于PE‖AB,可利用相似三角形△CPE∽△CBA,求出△APE的面积表达式,进而可将面积问题转换为二次函数的最值问题,根据函数的性质即可得到△APE的最大面积及对应的P点坐标．
（3）由于△AGC的面积无法直接求出,可用割补法求解,过G作GH⊥x轴于H,设出G点坐标,表示出△AGC、梯形AOHG的面积,它们的面积和减去△AOC的面积即可得到△AGC的面积表达式,然后将（2）题所得△APE的面积最大值代入上式中,联立抛物线的解析式即可得到点G的坐标．
（1）如图,∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0,6）,
∴c=6．（1分）
∵抛物线的图象又经过点（-3,0）和（6,0）,
∴ {0=9a-3b+60=36a+6b+6,（1分）
解之得 {a=-13b=1,（1分）
故此抛物线的解析式为：y=- 13x2+x+6．（1分）
（2）设点P的坐标为（m,0）,
则PC=6-m,S△ABC= 12BC•AO= 12×9×6=27；（1分）
∵PE‖AB,
∴△CEP∽△CAB；（1分）
∴ S△CEPS△CAB=(PCBC)2,
即 S△CEP27=（ 6-m9）2,
∴S△CEP= 13（6-m）2,（1分）
∵S△APC= 12PC•AO= 12（6-m）×6=3（6-m）,
∴S△APE=S△APC-S△CEP=3（6-m）- 13（6-m）2=- 13（m- 32）2+ 274；
当m= 32时,S△APE有最大面积为 274；
此时,点P的坐标为（ 32,0）．（1分）
（3）如图,过G作GH⊥BC于点H,设点G的坐标为G（a,b）,（1分）
连接AG、GC,
∵S梯形AOHG= 12a（b+6）,
S△CHG= 12（6-a）b,
∴S四边形AOCG= 12a（b+6）+ 12（6-a）b=3（a+b）．（1分）
∵S△AGC=S四边形AOCG-S△AOC,
∴ 274=3（a+b）-18,（1分）
∵点G（a,b）在抛物线y=- 13x2+x+6的图象上,
∴b=- 13a2+a+6,
∴ 274=3（a- 13a2+a+6）-18,
化简,得4a2-24a+27=0,
解之得a1= 32,a2= 92；
故点G的坐标为（ 32,274）或（ 92,154）．（1分）
好累吖!有问题的话问我啊