搜搜做题作业网已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/16 23:21:58
已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围．
（1）∵f（x）=lnx-ax（x＞0），
∴f′(x)=
1
x-a(x＞0)，
当a≤0时，f′（x）＞0（2分），
当a＞0时，由f′(x)=0得x=
1
a＞0
当x变化时，f'（x），f（x）随x变化情况如下表：
综上可知：当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞），
当a＞0时，f（x）的增区间为(0，
1
a)，减区间为(
1
a，+∞)，
（2）若函数f（x）≤1恒成立，只需f（x）max≤1，
当a≤0时，f（x）的值趋向于无穷大，不成立，
当a＞0时，由（1）知，f（x）有唯一的极大值且为最大值，
∴f（
1
a）=ln
1
a-a
1
a=-lna-1≤1，
∴lna≥-2，
∴a≥e-2，
即函数f（x）≤1恒成立时，a的取值范围为[e-2，+∞）．
∴f′(x)=
1
x-a(x＞0)，
当a≤0时，f′（x）＞0（2分），
当a＞0时，由f′(x)=0得x=
1
a＞0
当x变化时，f'（x），f（x）随x变化情况如下表：
综上可知：当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞），
当a＞0时，f（x）的增区间为(0，
1
a)，减区间为(
1
a，+∞)，
（2）若函数f（x）≤1恒成立，只需f（x）max≤1，
当a≤0时，f（x）的值趋向于无穷大，不成立，
当a＞0时，由（1）知，f（x）有唯一的极大值且为最大值，
∴f（
1
a）=ln
1
a-a
1
a=-lna-1≤1，
∴lna≥-2，
∴a≥e-2，
即函数f（x）≤1恒成立时，a的取值范围为[e-2，+∞）．