在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,则面BFD1E与底面A1B1C
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/02 17:22:54
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,则面BFD1E与底面A1B1C1D1所成的二面角的最小值为
在平面AA1D1D中,过E作EH⊥D1D于H,过H作HG⊥D1F于G,连接EG
∵平面AA1D1D⊥平面CC1D1D,平面AA1D1D∩平面CC1D1D=EH,EH⊥D1D
∴EH⊥平面CC1D1D,
∵D1F⊆平面CC1D1D,∴D1F⊥EH
∵HG⊥D1F,EH、HG是平面EHG内的相交直线
∴D1F⊥平面EHG
∵GE⊆平面EHG,
∴EG⊥D1F,可得∠EGH就是面BFD1E与底面A1B1C1D1所成的二面角的平面角
设正方体棱长为1,C1F=x,得AE=DH=x,D1H=1-x,(0≤x≤1)
∵Rt△D1GH∽Rt△FC1D1,
∴
HG
D1C1=
D1H
D1F,得HG=
1−x
1+x2
而函数f(x)=
1−x
1+x2 在区间(0,1)上是减函数,可得当x=0时HG有最大值1,当x=1时HG有最小值0.
∵Rt△EGH中,tan∠EGH=
EH
HG=
1
EG
∴当HG取最大值1时,tan∠EGH有最小值1,
此时∠EGH也有最小值
π
4,即面BFD1E与底面A1B1C1D1所成的二面角的最小值为
π
4
故答案为:
π
4
π |
4 |
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∵平面AA1D1D⊥平面CC1D1D,平面AA1D1D∩平面CC1D1D=EH,EH⊥D1D
∴EH⊥平面CC1D1D,
∵D1F⊆平面CC1D1D,∴D1F⊥EH
∵HG⊥D1F,EH、HG是平面EHG内的相交直线
∴D1F⊥平面EHG
∵GE⊆平面EHG,
∴EG⊥D1F,可得∠EGH就是面BFD1E与底面A1B1C1D1所成的二面角的平面角
设正方体棱长为1,C1F=x,得AE=DH=x,D1H=1-x,(0≤x≤1)
∵Rt△D1GH∽Rt△FC1D1,
∴
HG
D1C1=
D1H
D1F,得HG=
1−x
1+x2
而函数f(x)=
1−x
1+x2 在区间(0,1)上是减函数,可得当x=0时HG有最大值1,当x=1时HG有最小值0.
∵Rt△EGH中,tan∠EGH=
EH
HG=
1
EG
∴当HG取最大值1时,tan∠EGH有最小值1,
此时∠EGH也有最小值
π
4,即面BFD1E与底面A1B1C1D1所成的二面角的最小值为
π
4
故答案为:
π
4
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,则面BFD1E与底面A1B1C
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,得四边形BFD1E,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,则:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,则下列结论中错误的是( )
一道有点难的数学题在正方体ABCD---A1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,则(1)
在正方体abcd—a1b1c1d1中,e,f分别是cc1,aa1的中点,画出平面bed1f与平面abcd的交线,并说理由
在正方形ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CC1,AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线?
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是AB,CC1,AA1,C1D1的中点,求证:平面CEM平行于平
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD1交面ACB1于点E求证BE=1/2ED1
在正方体abcd-a1b1c1d1中,ef分别是cc1和aa1的中点,画出平面bed1f与平面abcd的交线,并说明理由
已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面BDF‖平面B1D1E
已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面BDF‖平面