关于线性代数的问题设向量组α1,α2,α3,α4,……αm(m>1)线性无关,且β=α1+α2+α3+α4+……αm,证

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/29 12:59:48

关于线性代数的问题
设向量组α1,α2,α3,α4,……αm(m>1)线性无关,且β=α1+α2+α3+α4+……αm,证明向量组β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm线性无关.

证明:(β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm)=(α1,α2,α3,……,αm)A
其中m阶方阵A=
0 1 1 ...1
1 0 1 ...1
1 1 0 ...1
......
1 1 1 ...0
因为 |A|=(m-1)(-1)^(m-2)≠0.
所以 A 可逆.
所以 (α1,α2,α3,……,αm)=(β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm)A^-1
即有 α1,α2,α3,……,αm 可由 β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm 线性表示.
所以 α1,α2,α3,……,αm 与 β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm 等价.
所以 r(β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm)=r(α1,α2,α3,……,αm)=m
故 β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm线性无关.
[注:也可用传统证法,设 k1(β-α1)+k2(β-α2)+…+km(β-αm)=0
则 (k2+...+km)α1+(k1+...+km)α2+……+(k1+k2+...+km-1)αm=0
由 α1,α2,α3,……,αm 线性无关得
k2+k3+k4...+km=0
k1+k3+k4...+km=0
k1+k2+k4...+km=0
......
k1+k2+k3+...+km-1=0
因为系数行列式 |A|=(m-1)(-1)^(m-2)≠0.
故方程组只有零解,即有 k1=k2=k3=...=km=0.
所以 β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm线性无关.]

关于线性代数的问题设向量组α1,α2,α3,α4,……αm(m>1)线性无关,且β=α1+α2+α3+α4+……αm,证设n维列向量组α1，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，…，βm线性无关的充分必要条件为（　　）线性代数设α1,α2,α3 线性无关问以下向量组是否线性无关? 已知α1,α2,…αm线性无关,证明向量组α1-αm,α2-αm…αm-1-αm也线性无关设线空间中α1,α2,……,αm线性无关,且向量组α1,α2,……αm,β线性相关,则β可由α1,α2,……,αm线性表求一道线性代数的题.设向量组α1,α2,.αn线性无关,讨论向量组β1,β2...βn的线性相关性线性代数的问题设m*n矩阵A的秩r(a)=n-3(n>3）,α,Β,Γ 是齐次线形方程组A*x=0的三个线性无关的解向量关于线性代数的设m*n矩阵A的秩r(A)=n-3(n>3),α.β.γ是齐次线性方程组AX=0的三个线性无关的解向量,则证:n维向量组α1,...,αm线性无关,向量β与α1,...,αm中的每个向量都正交,则α1,...,αm,β线性无关已知β是向量组α1,α2,...αm的线性组合,且α1,α2,.,αm线性无关,证明组合系数是唯一的线性代数：证明向量组β,β+α1,β+α2,...β+αr线性无关设向量组α1,α2,…,αn线性无关,向量组β,α1,α2,…,αn线性相关β,α1,α2,…,αn证明有且仅有一个向量