微积分问题：判断下列级数的敛散性.∑（n=1→∞）（-1）^(n-1)*(1-cos(a/根号n))

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/01 01:55:11

加绝对值变成∑（n=1→∞）(1-cos(a/根号n))
用比较判别法的极限形式,n-->无穷大
lim(1-cos(a/根号n))/(1/n^2)=lim(1/2(a/n)^2)/(1/n^2)=1/2a^2
因此级数敛散性与 ∑(1/n^2)相同,而∑(1/n^2)收敛,则原级数绝对收敛
再问： im(1-cos(a/根号n))/(1/n^2)=lim(1/2(a/n)^2)/(1/n^2)=1/2a^2 这一步·如何得来的？
再答：看错了，没看见那个根号 1-cos(a/根号n)的等价无穷小是(1/2)a^2/n 重做本题，上面作废 lim(1-cos(a/根号n))/(1/n)=lim(1/2a^2/n)/(1/n)=1/2a^2 因此级数敛散性与 ∑(1/n)相同，而∑(1/n)发散，则原级数加绝对值后发散但由于∑(-1)^(n-1)(1/n)是条件收敛的，因此原级数条件收敛。
再问：为什么可以用等价无穷小？n无穷大时，1-cos(a/根号n)的极限为0，所以可以用等价无穷小代换 ∑(-1)^(n-1)(1/n)是条件收敛的原因是用莱布尼兹判别法判断的由于原级数与它是同阶无穷小，因此用莱布尼兹判别法也是可以判别的。这个没有定理的，但如果你用莱布尼兹判别法来判断原级数，与判断∑(-1)^(n-1)(1/n)的效果肯定是一样的，因为莱布尼兹判别法主要就是看是否正负相间，这个比较显然，还有就是绝对值是否递减，它们既然是同阶无穷小，这种递减关系肯定是一致的，所以拿这个判断也行。如果你认为没有定理支持就不想用，那也可以对原级数用莱布尼兹判别法，也不是太难。

微积分问题：判断下列级数的敛散性.∑（n=1→∞）（-1）^(n-1)*(1-cos(a/根号n)) 微积分判断级数∑(n=1,∞)n^n/3^n*n!的收敛性判断级数的敛散性.∑ (n=1→∞)(根号n+1减根号n) 判断.级数（ ∞∑n=1 )（（n+1/2)的根号-n的根号）的敛散性判断级数∑2^n /n^n (n=1到∞）的敛散性判断级数的敛散性∑ （∞,n=1）2^n * /n^n 设a>0,研究级数(n=1~∞）∑((n+1)^a-n^a)cos n的收敛性判断级数敛散性∑(n=1到∞)(n+1/n)/(n+1/n)^n 判断级数(n=1→∞）∑(3^n)/(n!)的收敛性判断级数+∞∑n=1 1/根号下n(n2+1)的敛散性判断级数∑1/n*2^n/[3^n+(-2)^n]的敛散性,（n=1到无穷）判断级数 ∑ (∝ n=1) 3^n*n!/n^n的敛散性