f(x)在[a,b]上连续且大于零,试证明方程∫[a,x]f(t)dt+∫[b,x]1/f(t)dt=0有且仅有1个实跟

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/16 03:14:49

f(x)在[a,b]上连续且大于零,试证明方程∫[a,x]f(t)dt+∫[b,x]1/f(t)dt=0有且仅有1个实跟,如图

我能想到的是方程一项放到右边,然后求导,得f(x)=-1/f(x),..还是我的方向有误?

方向严重有误啊,解方程根本就不能用求导,因为常数的导数为0,加在哪边都可以的.
这种题的正确思路是用连续函数的介值定理,证明过程如下：
f(x)在[a,b]上连续,所以可积
设函数F(x)=∫[a,x]f(t)dt+∫[b,x]1/f(t)dt
则F(a)=∫[b,a]1/f(t)dt=-∫[a,b]1/f(t)dt ＜0 （因为被积函数为正）
F(b)=∫[a,b]f(t)dt ＞0
因F(a)和F(b)异号,所以必然存在c∈(a,b),使得F(c)=0,x=c即为方程的解
另外,设方程有两个解c1和c2,则必然存在c3,介于c1和c2之间,且使得F导（c3）=0
想办法证明这也是个矛盾即可
如还有问题,自己应该能解决了

f(x)在[a,b]上连续且大于零,试证明方程∫[a,x]f(t)dt+∫[b,x]1/f(t)dt=0有且仅有1个实跟 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b) 内可导,且 f '(x)≤0,F(x)=1/(x-a)∫(x-a)f(t)dt 函数f(x)>0在[a,b]上连续,令F(x)=∫(0到x)f(t)dt+∫(0到x)1/f(t)dt,证明方程F(x) 设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（x）＞0，则方程∫xaf(t)dt+∫xb1f(t)dt=0在开区间（a， f(x)在[a,b]上连续可导,f'(x)≤0 若F(x)=1/x-a,定积分∫f(t)dt[a,x] 证明在(a,b) 证明：若函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)=∫(x,a)f(t)dt,则f(x)≡0. 设函数f(x)在[A,B]上连续,证明lim(h→0) 1/h*∫(x,a)[f(t+h)-f(t)]dt=f(x)-f 『紧急』设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,证明：()(x)=§(a,x)f(t)dt+2§(x,b)f f(x)连续且f(x)=x+(x^2)∫ (0,1)f(t)dt,求f(x) 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则lim(x->a)∫(a->x)f(t)dt=____,lim(x->a)1/( f(x)在闭区间a,b 上连续则F(X)=∫a到x （x-t)f(t)dt在开区间a,b内设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且F(x)=1/2a ∫f(t)dt,a>0,上限x+a,下限x-a,求a趋于0时,F