搜搜做题作业网如何证明根号6加根号10是无理数
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/10 06:54:00
如何证明根号6加根号10是无理数
证明：假设 x =√6 +√10 是有理数,
则 √10 =x -√6,
所以 10 =x^2 -2√6 x +6.
所以 √6 =(x^2 -4) / (2x).
又因为 x 是有理数,
所以 √6 =(x^2 -4) / (2x) 是有理数.
与 √6 是无理数 矛盾.
所以 假设不成立,
即 √6 +√10 是无理数.
= = = = = = = = =
以上用到一个结论：
若 n是正整数,且不是完全平方数,则 √n 是无理数.
这道题可推广为：
若 a,b 是正有理数,且√a,√b是无理数,则√a +√b 是无理数.
但是,无理数 +无理数 不一定是 无理数.
如：√2 +(2-√2) =2,
π +(3-π) =3.
......
则 √10 =x -√6,
所以 10 =x^2 -2√6 x +6.
所以 √6 =(x^2 -4) / (2x).
又因为 x 是有理数,
所以 √6 =(x^2 -4) / (2x) 是有理数.
与 √6 是无理数 矛盾.
所以 假设不成立,
即 √6 +√10 是无理数.
= = = = = = = = =
以上用到一个结论：
若 n是正整数,且不是完全平方数,则 √n 是无理数.
这道题可推广为：
若 a,b 是正有理数,且√a,√b是无理数,则√a +√b 是无理数.
但是,无理数 +无理数 不一定是 无理数.
如：√2 +(2-√2) =2,
π +(3-π) =3.
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