证明方程x^3--3x+b=0在闭区间【--1,1】内最多只有一个实根

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/31 21:46:07

证明方程x^3--3x+b=0在闭区间【--1,1】内最多只有一个实根
不论b取何值

设 f(x) = x^3-3x+b,
f '(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1),f '(x)=0 => x=-1及x=1
在 (-1,1) 内,f '(x) < 0,f(x) 在[-1,1]上单调减少,
故 f(x) 在[-1,1]上至多有一个零值点.
即证方程x^3-3x+b=0在闭区间 [-1,1] 内最多只有一个实根.
再问：此题是微分中值定理章节出现的练习题，解题时为何没用到这一定理呢？
再答：单调性就是Lagrang中值定理的应用……
再问：感谢，但我目前还没学到这一应用，能否用拉格朗日、罗尔、柯西定理来证明呢？
再答：反证。假设 f(x)=0 在[-1,1]内有两个不等的实根 x1, x2 f(x1)=0, f(x2)=0 f(x) 在[-1,1]上满足Rolle定理，至少存在一个 ξ ∈(x1,x2), 使得 f '(ξ)=0 而在 (-1,1) 内， f '(x) < 0 与之矛盾，故假设不正确。于是方程x^3-3x+b=0在闭区间 [-1,1] 内最多只有一个实根。

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