等差数列的各个题型及解题方法

等差数列的各个题型及解题方法

解题思路： 附
解题过程：
附 一、等差数列 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 例1．根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……； （2），，，； （3），，，。 解析：（1）=2； （2）= ； （3）= 。 点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。 如（1）已知，则在数列的最大项为__ ； （2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___； （3）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围； 2、等差数列的判断方法：定义法或。 例2．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=n²，则{a_n}是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 答案：B； 解法一：a_n= ∴a_n=2n－1（n∈N） 又a_n+1－a_n=2为常数，≠常数 ∴{a_n}是等差数列，但不是等比数列. 解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。 点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式a_n=S_n－S_n－1的推理能力.但不要忽略a₁，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。 练一练：设是等差数列，求证：以b_n= 为通项公式的数列为等差数列。 3、等差数列的通项：或。 4、等差数列的前和：，。 例3：等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，若a₂＋a₄＋a₁₅的值是一个确定的常数，则数列{a_n}中也为常数的项是(　　) A．S₇　　　　　　　　　 B．S₈ C．S₁₃ D．S₁₅ 解析：设a₂＋a₄＋a₁₅＝p(常数)， ∴3a₁＋18d＝p，解a₇＝p. ∴S₁₃＝＝13a₇＝p. 答案：C 例4．等差数列{a_n}中，已知a₁＝，a₂＋a₅＝4，a_n＝33，则n为(　　) A．48 B．49 C．50 D．51 解析：∵a₂＋a₅＝2a₁＋5d＝4，则由a₁＝得d＝，令a_n＝33＝＋(n－1)×，可解得n＝50.故选C. 答案：C 如(1)等差数列中，，，则通项　　　　； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ； 例5：设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，a₁₂＝－8，S₉＝－9，则S₁₆＝________. 解析：S₉＝9a₅＝－9， ∴a₅＝－1，S₁₆＝8(a₅＋a₁₂)＝－72. 答案：－72 例6：已知数列{a_n}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和S_n有最大值，则使S_n>0的n的最大值为(　　) A．11 B．19 C．20 D．21 解析：∵<－1，且S_n有最大值， ∴a₁₀>0，a₁₁<0，且a₁₀＋a₁₁<0， ∴S₁₉＝＝19·a₁₀>0， S₂₀＝＝10(a₁₀＋a₁₁)<0. 所以使得S_n>0的n的最大值为19，故选B. 答案：B 如（1）数列 中，，，前n项和，则＝＿，＝ ； （2）已知数列 的前n项和，求数列的前项和. 5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2） 6.等差数列的性质： （1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0. （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 （3）当时,则有，特别地，当时，则有. （4）若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、 ，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 练一练：等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。 （5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。 练一练：项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数. （6）若等差数列、的前和分别为、，且，则. 练一练：设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________； (7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？ 练一练：等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值； 例7．（1）设｛a_n｝（n∈N^*）是等差数列，S_n是其前n项的和，且S₅＜S₆，S₆＝S₇＞S₈，则下列结论错误的是（ ） A.d＜0 B.a₇＝0 C.S₉＞S₅ D.S₆与S₇均为S_n的最大值 （2）等差数列{a_n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ） A.130 B.170 C.210 D.260 解析：（1）答案：C； 由S₅<S₆得a₁+a₂+a₃+…+a₅<a₁+a₂+…+a₅+a₆，∴a₆>0， 又S₆=S₇，∴a₁+a₂+…+a₆=a₁+a₂+…+a₆+a₇，∴a₇=0， 由S₇>S₈，得a₈<0，而C选项S₉>S₅，即a₆+a₇+a₈+a₉>02（a₇+a₈）>0， 由题设a₇=0，a₈<0，显然C选项是错误的。 （2）答案：C 解法一：由题意得方程组， 视m为已知数，解得， ∴。 解法二：设前m项的和为b₁，第m+1到2m项之和为b₂，第2m+1到3m项之和为b₃，则b₁，b₂，b₃也成等差数列。 于是b₁=30，b₂=100－30=70，公差d=70－30=40。 ∴b₃=b₂+d=70+40=110 ∴前3m项之和S_3m=b₁+b₂+b₃=210. 解法三：取m=1，则a₁=S₁=30，a₂=S₂－S₁=70，从而d=a₂－a₁=40。 于是a₃=a₂+d=70+40=110.∴S₃=a₁+a₂+a₃=210。 等差数列课后练习 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。 1．若a≠b,数列a,x₁,x ₂ ,b和数列a,y₁ ,y₂ ,b都是等差数列，则 （ ） A． B． C．1 D． 2．在等差数列中，公差＝1，＝8，则＝　 （　 ） A．40 B．45 C．50　　 D．55 3．等差数列的前三项为，则这个数列的通项公式为 （ ） A． B． C． D． 4．在等差数列，则在S_n中最大的负数为 （ ） A．S₁₇ B．S₁₈ C．S₁₉ D．S₂₀ 5．已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是 （ ） A．(－∞,－2) B．[－, －2] C．(－2, +∞) D．(— ,－2) 6．在等差数列中，若，则n的值为 （ ） A．18 B17． C．16 D．15 7．等差数列中，等于（ ） A．－20．5 B．－21．5 C．－1221 D．－20 8．已知某数列前项之和为，且前个偶数项的和为，则前个奇数项的和为 （ ） A． B． C． D． 9．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为234，则它的第七项等于 （ ） A．22 B ．21 C．19 D．18 10．等差数列中，≠0，若ｍ＞1且，，则ｍ的值是 （ ） A． 10 B． 19 C．20 D．38 二、填空题：请把答案填在题中横线上。 11．已知是等差数列，且 则k= . 12．在△ABC中，A，B，C成等差数列，则 . 13．在等差数列中，若，则 . 14．是等差数列的前n项和，(n≥5，)， =336，则n的值是 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．己知为等差数列，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求： （1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？ 16．数列是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。 （1）求数列公差；（2）求前项和的最大值；（3）当时，求的最大值。 17．设等差数列的前ｎ项的和为S _n ,且S ₄ =－62, S ₆ =－75,求： （1）的通项公式a _n 及前ｎ项的和S _n ； （2）|a ₁ |+|a ₂ |+|a ₃ |+……+|a ₁₄ |. 18．已知数列，首项a ₁ =3且2a _n+1=S _n ·S _n－1 (n≥2). （1）求证：{}是等差数列,并求公差；（2）求{a _n }的通项公式； （3）数列{a_n }中是否存在自然数k₀,使得当自然数k≥k ₀时使不等式a _k>a _k+1对任意大于等于k的自然数都成立,若存在求出最小的k值,否则请说明理由. 一、选择题：ABCCB DABDA 二、填空题：11．8； 12．； 13．24； 14．21. 三、解答题： 15．分析：应找到原数列的第n项是新数列的第几项，即找出新、旧数列的对应关系。 解：设新数列为 即3=2+4d，∴，∴ ，∴ 即原数列的第n项为新数列的第4n－3项． （1）当n=12时，4n－3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项； （2）由4n－3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。 说明：一般地，在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数,构成一个新的等差数列，则新数列的公差为原数列的第n项是新数列的第n+(n－1)m=(m+1)n－m项． 16．解： （1）， ，， ∴ 为整数， ∴ . （2）=23 =－2 =－ ∴当时最大=78 （3）时，0，故最大值为12. 17．分析：通过解方程组易求得首项和公差，再求a_n及S_n；解答②的关键在于判断项的变化趋势。 解：设等差数列首项为a₁，公差为d，依题意得 解得：a₁=－20,d=3。 ⑴； ⑵ ∴ . 18．分析：证为等差数列，即证（d是常数）。 解：⑴由已知当 ⑵ ⑶
最终答案：略