设n阶方阵A满足A^2-A+E=0,证明A为可逆矩阵,并求A^-1的表达式?
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 17:07:46
设n阶方阵A满足A^2-A+E=0,证明A为可逆矩阵,并求A^-1的表达式?
为什么A(E-A)=E,则A就可逆
为什么A(E-A)=E,则A就可逆
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证明:因为 A^2-A+E=0
所以 A(E-A) = E
所以A可逆,且 A^-1 = E-A
补充:
这是个定理,教材中应该有的:
若AB=E,则 A,B可逆,且A^-1 = B,B^-1 = A
证明很简单.
因为 AB=E
两边求行列式 |A||B| = |E| = 1
所以 |A|≠0,|B|≠0
所以 A,B 可逆
所以 A^-1(AB) = A^-1
即 B = A^-1.
所以 A(E-A) = E
所以A可逆,且 A^-1 = E-A
补充:
这是个定理,教材中应该有的:
若AB=E,则 A,B可逆,且A^-1 = B,B^-1 = A
证明很简单.
因为 AB=E
两边求行列式 |A||B| = |E| = 1
所以 |A|≠0,|B|≠0
所以 A,B 可逆
所以 A^-1(AB) = A^-1
即 B = A^-1.
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