来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/08/15 08:39:01
已知f（x）=x
2，g（x）=lnx，直线l：y=kx+b（常数k、b∈R）使得函数y=f（x）的图象在直线l的上方，同时函数y=g（x）的图象在直线l的下方，即对定义域内任意x，lnx＜kx+b＜x
2恒成立．
试证明：
（1）k＞0，且-lnk-1＜b＜-
k
 （1）根据题意，得 对任意x，lnx＜kx+b，所以k＞ lnx−b x…（1分）， 因为k、b是常数，所以当x充分大时，lnx＞b， 从而k＞ lnx−b x＞0…（2分）． 因为kx+b＜x 2即x 2-kx-b＞0恒成立， 所以△=（-k） 2+4b＜0，得b＜- k2 4…（4分）． 因为lnx＜kx+b即kx+b-lnx＞0恒成立， 设h（x）=kx+b-lnx，则h'（x）=k- 1 x…（5分）， 由h'（x）=0得x= 1 k＞0， ∴0＜x＜ 1 k时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；x＞ 1 k时时，h'（x）＜0，h（x）单调递增…（7分）， 所以h（x）的极小值从而也是最小值为h（ 1 k）=1+b-ln 1 k=1+b+lnk…（8分）， 因为kx+b-lnx＞0恒成立，所以h（ 1 k）=1+b+lnk＞0，即b＞-lnk-1，从而-lnk-1＜b＜- k2 4成立；…（9分）． （2）由（1）知-lnk-1＜- k2 4，从而 k2 4＜lnk+1，其中k是正数…（10分）， 如图，根据幂函数与对数函数单调性， 可得k应介于曲线f（x）=x 2与g（x）=lnx的两个交点的横坐标之间， 设这两个交点横坐标分别为x 1、x 2，且x 1＜x 2．…（11分）， 因为k=e− 1 2时， k2 4＜ 1 2=lnk+1，k=e时， k2 4= e2 4＜2=lnk+1…（13分）， 所以（e− 1 2，e）是（x 1，x 2）的真子集， 由此可得：“e− 1 2＜k＜e”是“lnx＜kx+b＜x 2”成立的充分不必要条件．…（14分）． |
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