一道关于三角形内心性质的问题
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/31 02:38:27
一道关于三角形内心性质的问题
已知三角形ABC,A为顶点,在三角形ABC中,I是三角形的内心,连接AI并延长,交BC于点E.求证:AI/IE=AB/BE=AC/EC(先说声谢谢)
已知三角形ABC,A为顶点,在三角形ABC中,I是三角形的内心,连接AI并延长,交BC于点E.求证:AI/IE=AB/BE=AC/EC(先说声谢谢)
![一道关于三角形内心性质的问题](/uploads/image/z/5435941-13-1.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E5%85%B3%E4%BA%8E%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E5%86%85%E5%BF%83%E6%80%A7%E8%B4%A8%E7%9A%84%E9%97%AE%E9%A2%98)
连接BI,CI
由正弦定理
AB/sin∠AIB = AI/sin∠ABI AB/AI = sin∠AIB/sin∠ABI
BE/sin∠BIE = BI/sin∠EBI BE/BI = sin∠BIE/sin∠EBI
I为内心,BI为∠ABC平分线
∠ABI = ∠EBI sin∠ABI = sin∠EBI
又∠AIB和∠BIE互为补角 sin∠AIB = sin∠BIE
所以 AB/AI = BE/BI
即 AI/IE = AB/BE
同理可证 AI/IE = AC/EC
所以 AI/IE = AB/BE = AC/EC
由正弦定理
AB/sin∠AIB = AI/sin∠ABI AB/AI = sin∠AIB/sin∠ABI
BE/sin∠BIE = BI/sin∠EBI BE/BI = sin∠BIE/sin∠EBI
I为内心,BI为∠ABC平分线
∠ABI = ∠EBI sin∠ABI = sin∠EBI
又∠AIB和∠BIE互为补角 sin∠AIB = sin∠BIE
所以 AB/AI = BE/BI
即 AI/IE = AB/BE
同理可证 AI/IE = AC/EC
所以 AI/IE = AB/BE = AC/EC