（2013•梅州一模）已知函数f(x)＝(a−12)x2+lnx(a∈R)．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/05 23:00:33

（2013•梅州一模）已知函数f(x)＝(a−

（I）当a=1时，f(x)＝
1
2x2+lnx(x＞0)，
f′(x)＝x+
1
x
可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，
最小值为f(1)＝
1
2，
要使∃x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，
故实数m的取值范围是[
1
2，+∞)
（2）已知函数f(x)＝(a−
1
2)x2+lnx(a∈R)．
若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，
等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，
即(a−
1
2)x2+lnx−2ax＜0恒成立．
设g(x)＝(a−
1
2)x2+lnx−2ax(x∈(1，+∞))．
即g（x）的最大值小于0.g′(x)＝(x−1)(2a−1−
1
x)
（1）当a≤
1
2时，g′(x)＝(x−1)(2a−1−
1
x)＜0，
∴g(x)＝(a−
1
2)x2+lnx−2ax(x∈(1，+∞))为减函数．
∴g（1）=-a-
1
2≤0
∴a≥-
1
2
∴
1
2≥a≥−
1
2
（2）a≥1时，g′(x)＝(x−1)(2a−1−
1
x)＞0．
g(x)＝(a−
1
2)x2+lnx−2ax(x∈(1，+∞))为增函数，
g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．
（3）当
1
2＜a＜1时，g（x）在(1，
1
2a−1)上为减函数，在(
1
2a−1，+∞)上为增函数，
同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a的取值范围是[−
1
2，
1
2]．

（2013•梅州一模）已知函数f(x)＝(a−12)x2+lnx(a∈R)．已知函数f(x)＝(a−12)x2+lnx．（a∈R）（2012•资阳一模）已知函数f（x）=2lnx-x2+ax，a∈R．已知函数f(x)＝a(x2+1)+x−1x−lnx(a∈R)．（2014•市中区二模）已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（2014•烟台二模）已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．已知函数f（x）=x2-lnx-ax，a∈R．已知函数f（x）=lnx+x2-ax，a∈R．（2011•深圳一模）已知函数f(x)＝lnx+ax+1(a∈R)．（2011•杭州二模）已知函数f(x)＝12x2+(a−3)x+lnx．（2014•西城区一模）已知函数f（x）=lnx-ax，其中a∈R．（2012•资阳一模）已知函数f(x)＝13ax3+x2−x，a∈R