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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点D是射线CA上的一个动点 (不与A、C重合),DE⊥直线

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/04 19:07:18
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点D是射线CA上的一个动点 (不与A、C重合),DE⊥直线AB于E点,点F是BD的中点,过点F作FH⊥直线AB于H点,连接EF,设AD=x.
(1)①若点D在AC边上,求FH的长(用含x的式子表示);
②若点D在射线CA上,△BEF的面积为S,求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)若点D在AC边上,点P是AB边上的一个动点,DP与EF相交于O点,当DP+FP的值最小时,猜想DO与PO之间的数量关系,并加以证明.

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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点D是射线CA上的一个动点 (不与A、C重合),DE⊥直线
郭敦顒回答:
(1)①若点D在AC边上,求FH的长(用含x的式子表示);
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,F是BD的中点,设AD=x
∴AB=10,FH=DE/2
Rt⊿ADE∽Rt⊿ABC,
AD/AB=DE/BC,∴x/10=DE/6
∴10DE=6x,DE=(3/5)x
FH=DE/2=(3/10)x
②若点D在射线CA上,△BEF的面积为S,求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
∵Rt⊿ADE∽Rt⊿ABC,
∴AD/AE=AB/AC,x/AE=10/8,
∴AE=(4/5)x,BE=10-(4/5)x
∴S△BEF=(1/2)BE•FH=1/2×(3/10)x[10-(4/5)x]
=(3/20)[10x-(4/5)x²]
=(3/2)x-(3/25)x²,
∴S=(3/2)x-(3/25)x².
x的取值范围是(0,8).
(2)若点D在AC边上,点P是AB边上的一个动点,DP与EF相交于O点,当DP+FP的值最小时,猜想DO与PO之间的数量关系,并加以证明.
作CG⊥AB于G,AG=64/10,CG=√(8²-6.4²)=4.8,
当DP+FP有最小值时,D→C,x→8(x≠8),DF→3 (DF>3),
P→G,DP→4.8,
Min(DP+FP)=3+4.8=7.8,
PO→0,DO→4.8,
E→G,DE→4.8.