（2013•陕西）已知函数f（x）=ex，x∈R．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/04 01:55:45

（2013•陕西）已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ）证明：曲线y=f（x）与曲线y=

（I）函数f（x）=e^x的反函数为g（x）=lnx，
∵g′(x)＝
1
x，∴g′（1）=1，
∴f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），即y=x-1；
（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）-(
1
2x2+x+1)=ex−
1
2x2−x−1，
则h′（x）=e^x-x-1，
h^′′（x）=e^x-1，
当x＞0时，h^′′（x）＞0，h′（x）单调递增；当x＜0时，h^′′（x）＜0，h′（x）单调递减，
故h′（x）在x=0取得极小值，即最小值，
∴h′（x）≥h′（0）=0，
∴函数y=h（x）在R上单调递增，最多有一个零点，
而x=0时，满足h（0）=0，是h（x）的一个零点．
所以曲线y=f（x）与曲线y=
1
2x2+x+1有唯一公共点（0，1）．
（Ⅲ）设b-a=t＞0，则
f(b)−f(a)
b−a-f（
a+b
2）=
eb−ea
b−a−e
a+b
2=
ea(eb−a−1)
b−a−ea+
t
2=e^a
(
et−1
t−e
t
2)=
ea
t(et−1−te
t
2)，
令g（t）=et−1−te
t
2（t＞0），
则g^′（t）=et−e
t
2−
t
2e
t
2=e
t
2(e
t
2−1−
t
2)（t＞0）．
令h（x）=e^x-x-1（x＞0），
则h^′（x）=e^x-1＞0，∴

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