求解线性代数题1．设向量α在标准正交基ε1,ε2,ε3下的坐标为(1,-1,2),求内积(α,ε1-2ε2-3ε3)

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/08 20:21:02

求解线性代数题
1．设向量α在标准正交基ε1,ε2,ε3下的坐标为(1,-1,2),求内积(α,ε1-2*ε2-3*ε3).
2．设W为P^3*3中全体反对称矩阵构成的集合,证明W是P^3*3的子空间,并求W的维数与一组基.
3．设V是n维欧式空间,α,β≠0是V中固定向量且线性无关,证明V1={x｜(x,α)=(x,β)=0}是V的子空间,且dim(V1)=n-2.

a=(ε1,ε2,ε3)(1,-1,2)’
b=(ε1,ε2,ε3)(1,-2,-3)’
(a,b)=a'b= (1,-1,2)[(ε1,ε2,ε3)'(ε1,ε2,ε3)](1,-2,-3)’
=(1,-1,2)I(1,-2,-3)’
=(1,-1,2)(1,-2,-3)’
=-4
a,b∈W -> a+a'=b+b'=0
k1,k2∈R ->
(k1a+k2b)+(k1a+k2b)'=(k1a+k1a')+(k1b+k2b')+ =0+0=0
∴ (k1a+k2b)∈W
e(12),e(13),e(2,3)即W的一组基；W为3维空间.
取定V的一组基：e1,e2,...,en,有：
任意 x=(e1,e2,...,en)c
如：(x,α)=(x,β)=0 Ac=0
(α,β) = (e1,e2,...,en)(a,b)=(e1,e2,...,en) A(n,2)'
由 α,β≠0是V中固定向量且线性无关,故 r(A）=2
则:Ax=0 基础解系 x1,x2,...,x(n-2) 秩为n-2；
(e1,e2,...,en)( x1,x2,...,x(n-2)) 为 V1 的一组基；
dim(V1)=n-2

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