已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为A,P为C1上任一点,MN是圆
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/10 08:47:22
已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为A,P为C1上任一点,MN是圆
C2:x^2+(y-3)^2=1的一条直径.若与AF平行且在y轴上的截距为3-√2的直线L恰好与圆C2相切.
(Ⅰ)已知椭圆C1的离心率;
(Ⅱ)若向量PM·向量PN的最大值为49,求椭圆C1的方程
十万火急 必有重谢
C2:x^2+(y-3)^2=1的一条直径.若与AF平行且在y轴上的截距为3-√2的直线L恰好与圆C2相切.
(Ⅰ)已知椭圆C1的离心率;
(Ⅱ)若向量PM·向量PN的最大值为49,求椭圆C1的方程
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(I)椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),上顶点为A(0,b),
AF的斜率=-b/c,
与AF平行且在y轴上的截距为3-√2的直线L:y=-bx/c+3-√2恰好与圆C2相切,
∴√2/√[(b/c)^2+1]=1,
平方得b^2/c^2+1=2,
∴b=c,a=√2c,
∴椭圆C1的离心率c/a=√2/2.
(II)P为C1上任一点,
∴设P(√2ccost,csint),
MN是圆C2:x^2+(y-3)^2=1的一条直径,
∴设M(cosu,3+sinu),N(-cosu,3-sinu),
∴向量PM*PN=(cosu-√2ccost)(-cosu-√2ccost)+(3+sinu-csint)(3-sinu-csint)
=-(cosu)^2+2(ccost)^2-(sinu)^2+(3-csint)^2
=-1+2c^2*[1-(sint)^2]+9-6csint+c^2*(sint)^2
=-c^2*(sint)^2-6csint+2c^2+8
=-(csint+3)^2+2c^2+17,
其最大值为49,
∴2c^2+17=49,c^2=16,c=4,a=4√2,
∴椭圆C1的方程是x^2/32+y^2/16=1.
AF的斜率=-b/c,
与AF平行且在y轴上的截距为3-√2的直线L:y=-bx/c+3-√2恰好与圆C2相切,
∴√2/√[(b/c)^2+1]=1,
平方得b^2/c^2+1=2,
∴b=c,a=√2c,
∴椭圆C1的离心率c/a=√2/2.
(II)P为C1上任一点,
∴设P(√2ccost,csint),
MN是圆C2:x^2+(y-3)^2=1的一条直径,
∴设M(cosu,3+sinu),N(-cosu,3-sinu),
∴向量PM*PN=(cosu-√2ccost)(-cosu-√2ccost)+(3+sinu-csint)(3-sinu-csint)
=-(cosu)^2+2(ccost)^2-(sinu)^2+(3-csint)^2
=-1+2c^2*[1-(sint)^2]+9-6csint+c^2*(sint)^2
=-c^2*(sint)^2-6csint+2c^2+8
=-(csint+3)^2+2c^2+17,
其最大值为49,
∴2c^2+17=49,c^2=16,c=4,a=4√2,
∴椭圆C1的方程是x^2/32+y^2/16=1.
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