为什么正交矩阵一定可以特征值分解?

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/28 08:54:23

为什么正交矩阵一定可以特征值分解?
正交矩阵的特征值只能是1或者-1,是什么保证了它有足够的特征向量使得它一定可以特征值分解?
请简略证明
抱歉抱歉，是单位正交矩阵，谢谢一楼指正

1."正交矩阵的特征值只能是1或者-1"
这个是严重错误!随便给你个例子
0 1 0
0 0 1
1 0 0
2."是什么保证了它有足够的特征向量使得它一定可以特征值分解"
本质上讲正交矩阵是正规矩阵,所有的正规矩阵都可以酉对角化（当然这个不是非常容易证明,先要酉上三角化,然后用正规性得到非对角元全为零）.
如果你已经知道Hermite矩阵可以酉对角化的话还可以用Cayley变换建立酉阵和Hermite矩阵的联系,这样就可以把酉阵看作Hermite阵的矩阵函数,从而也可以酉对角化.

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