已知α,β为锐角,k≥1,证明:α+β=π/2的充要条件是（200分）

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/18 12:36:29

已知α,β为锐角,k≥1,证明:α+β=π/2的充要条件是（200分）
已知α,β为锐角,k≥1,证明:α+β=π/2的充要条件是:
{【sin^(k+2) *(α)】/【cos^k*(β)】}+{【cos^(k+2) *(α)】/【sin^(k)*(β)】}=1.
至于k，是任意给定正整数。

童鞋,初中生打高中竞赛,壮志可嘉!
以上几位同学走了一些弯路,这道题应该通过特殊的k值进行分析：
必要性几乎是显然,α+β=π/2则cosβ=sinα,cosα=sinβ
于是
{【sin^(k+2) *(α)】/【cos^k*(β)】}+{【cos^(k+2) *(α)】/【sin^(k)*(β)】}
=sin^2*α+cos^2β=1
至于充分性：（考虑到你是初中同学,所以我写的稍微详细一点儿）
我们不妨先让k=2：
{【sin^(k+2) *(α)】/【cos^k*(β)】}+{【cos^(k+2) *(α)】/【sin^(k)*(β)】}=1.就变成了：
[sin^4*(α)]/[cos^2*(β)]+[cos^4*(α)]/[sin^2*(β)]=1.
不妨令A=[sin^2*(α)]/cosβ,B=[cos^2*(α)]/ sinβ
C= cosβ,D= sinβ
则原式化为A^2+B^2=1
然而：cos^2*(β)+sin^2*(β)=1
所以C^2+D^2=1
根据柯西不等式（很重要的不等式,
(A^2+B^2)*(C^2+D^2)≥(A*C+B*D)^2
取等号的充要条件是：A*D-B*C=0
（或者你用Lagrange恒等式可能更管用,左右展开很显然）
Lagrange恒等式：
(A^2+B^2)*(C^2+D^2)= (A*C+B*D)^2+(A*D-B*C)^2
此时A^2+B^2= C^2+D^2=1
所以左边等于1.
而A*C+B*D
=(sin^2*(α)]/cosβ)* cosβ+([cos^2*(α)]/ sinβ)*sinβ
= cos^2*(α)+sin^2*(α)
=1
所以你可以得到：A*D-B*C=0
也就是[sin^2*(α)]* [sin^2*(β)]- [cos^2*(α)]* [cos^2*(β)]=0
再利用平方差公式结合三角函数的和角公式：
可得：cos(α-β)*cos(α+β)=0
然而α和β又是锐角,-π/2

已知α,β为锐角,k≥1,证明:α+β=π/2的充要条件是（200分）已知A、B为锐角,证明A+B=TT/4的充要条件是（1+tanA)(1+tanB）=2 已知z是虚数,证明z+1\z为实数的充要条件是|z|=1 已知k为实数,方程x2+(k+3i)x+4+ki=0有实根的充要条件是（）锐角三角比已知α是锐角,sinα=k-2,试求k的范围（要过程）已知α是锐角,tanα=3：4（就是三分之四）试求cos 函数g(x)=(k-2^x)/(1+kx^2)为奇函数的充要条件是已知方程x^2+(2k-1)x+k^2=0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件并证明数学向量证明题已知O为原点,A、B、C为平面内三点,求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是,OC=αOA+βOB, 已知A为锐角,当K为何值时,sinA.cosA恰好是方程2x²-（K+1）x+K/2＝0的两根? 已知数列{An}的前n项和为Sn=(n+1)2+t,证明:{An}成等差数列的充要条件是t=-1 已知方程x^2+(2k-1)x+k^2=0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件并证明.为什么不能用△≥0,x1+x2 已知α为锐角,利用三角函数线的有关知识证明:sinα+cosα>1