设A为n阶方阵,且A^2=A,证明(A+I)^m=I+((2^m)-1)),其中m为正整数
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/28 22:53:11
设A为n阶方阵,且A^2=A,证明(A+I)^m=I+((2^m)-1)),其中m为正整数
证:
∵A^2=A
∴对于任意正整数k,A^k=A
根据二项式展开【C(n,k)代表组合数】
(A+I)^m
=C(m,0)[A^m]+C(m,1)[A^(m-1)]+C(m,2)[A^(m-2)]+……+C(m,m)[I]
=C(m,0)[A]+C(m,1)[A]+C(m,2)[A]+……+C(m,m-1)[A]+C(m,m)[I]
=[C(m,0)+C(m,1)+……+C(m,m-1)][A]+I
∵C(m,0)+C(m,1)+……+C(m,m)=(1+1)^m=2^m
∴C(m,0)+C(m,1)+……+C(m,m-1)=2^m-C(m,m)=2^m-1
∴(A+I)^m
=[C(m,0)+C(m,1)+……+C(m,m-1)][A]+I
=(2^m-1)A+I
证毕!
∵A^2=A
∴对于任意正整数k,A^k=A
根据二项式展开【C(n,k)代表组合数】
(A+I)^m
=C(m,0)[A^m]+C(m,1)[A^(m-1)]+C(m,2)[A^(m-2)]+……+C(m,m)[I]
=C(m,0)[A]+C(m,1)[A]+C(m,2)[A]+……+C(m,m-1)[A]+C(m,m)[I]
=[C(m,0)+C(m,1)+……+C(m,m-1)][A]+I
∵C(m,0)+C(m,1)+……+C(m,m)=(1+1)^m=2^m
∴C(m,0)+C(m,1)+……+C(m,m-1)=2^m-C(m,m)=2^m-1
∴(A+I)^m
=[C(m,0)+C(m,1)+……+C(m,m-1)][A]+I
=(2^m-1)A+I
证毕!
设A为n阶方阵,且A^2=A,证明(A+I)^m=I+((2^m)-1)),其中m为正整数
设A是一个n阶方阵,并存在一个正整数m使得A^m=0.证明(I-A)的逆=I+A+...+A^m-1
设A为n阶方阵,且A^2=A+2I,证明r(A-2I)+r(A+I)=n
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请教一道线性代数题设A为n阶方阵,且每一行元素之和都等于常数a,证明A的m次方(m为正整数)的每一个元素之和为a的m次方
设A为n阶方阵,且A^k=O(k为正整数)求证(I-A)^-1=I+A+A^2+A^3+...A^K-1
两道线性代数题1、设A为n阶矩阵,且每一行元素之和都等于常数a,证明A^m(m为正整数)的每一行元素之和为a^m.2、设
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设A为3阶方阵且行列式|I-A|=|I+A|=|2I-A|=0,(其中I为3阶单位阵).A*为A的伴随矩阵,(1/3A)
2、设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,且m<n,已知AB=I,其中I为m阶单位矩阵,证明B的列向量组线性无
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