搜搜做题作业网求50道简单,有趣,易懂的数学题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/14 06:01:40
求50道简单,有趣,易懂的数学题
越多越好,
越多越好,还要有参考答案。
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1998年全国初中数学竞赛试题及解答
一、选择题(本题共5小题,每小题6分,满分30分)
1．已知a,b,c都是实数,并且a＞b＞c,那么下列式子中正确的是 [ ]
A．ab＞bc
B．a+b＞b+c
C．a-b＞b-c
2．如果方程x2+px+1=0(p＞0)的两根之差为1,那么p等于[ ]
A．2 B．4
3．在△ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积等于 [ ]
A．12 B．14
C．16 D．18
一定通过 [ ]
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
个不等式组的整数a,b的有序数对(a,b)共有 [ ]
A．17个 B．64个
C．72个 D．81个
二、填空题(本题共5小题,每小题6分,满分30分)
6．在矩形ABCD中,已知AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E,F分别是垂足,那么PE+PF=____．
7．已知直线y=-2x＋3与抛物线y=x2相交于A,B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于____．
8．已知圆环内直径为a厘米,外直径为b厘米,将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为____厘米．
9．已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15＝0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根,那么a=____．
航行,B船同时向南航行,且B船的速度为A船速度的2倍,那么A,B两船的最近距离是____千米．
三、解答题(本题共3小题,每小题20分,满分60分)
11．在等腰直角三角形ABC中,AB=1,∠A=90°,点E为腰AC的中点,点F在底边BC上,且FE⊥BE,求△CEF的面积．
(1)求a的值；
(2)求a18+323a-6的值．
13．A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台．现在决定把这些机器支援给D市18台,E市10台．已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元．
(1)设从A市、B市各调x台到D市,当28台机器全部调运完毕后,求总运费W(元)关于x(台)的函数式,并求W的最小值和最大值；
(2)设从A市调x台到D市,B市调y台到D市,当28台机器全部调运完毕后,用x,y表示总运费W(元),并求W的最小值和最大值．
解 答
1．根据不等式性质,选B．．
2．由△=p2-4＞0及p＞2,设x1,x2为方程两根,那么有x1+x2=-p,x1x2=1．又由
(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2,
3．如图3－271,连ED,则
又因为DE是△ABC两边中点连线,所以
故选C．
4．由条件得
三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c),所以有p=2或a+b＋c＝0．
当p=2时,y=2x＋2,则直线通过第一、二、三象限．
y=-x-1,则直线通过第二、三、四象限．
综合上述两种情况,直线一定通过第二、三象限．故选B．,
的可以区间,如图3－272．
+1,3×8＋2,3×8＋3,……3×8＋8,共8个,9×8=72(个)．故选C．
6．如图3－273,过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高,所以PE＋PF=AG．因为AD=12,AB=5,所以BD=13,所
7．如图3-274,直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1,1),B(-3,9)．作AA1,BB1分别垂直于x轴,垂足为A1,B1,所以
8．如图3－275,当圆环为3个时,链长为
当圆环为50个时,链长为
9．因为a≠0,解得
故a可取1,3或5．
10．如图3－276,设经过t小时后,A船、B船分别航行到A1,
A1C=|10-x|,B1C=|10-2x|,
所以
11．解法1如图3－277,过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为
∠ABE＋∠AEB=90°,
∠CED＋∠AEB=90°,
所以 ∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽Rt△CED,所以
又∠ECF=∠DCF=45°,所以CF是∠DCE的平分线,点F到CE和CD的距离相等,所以
所以
解法2 如图3－278,作FH⊥CE于H,设FH=h．因为
∠ABE＋∠AEB＝90°,
∠FEH+∠AEB=90°,
所以 ∠ABE=∠FEH,
于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为
所以
12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点,所以一元二次方程
有两个相等的实根,于是
(2)由(1)知,a2=a＋1,反复利用此式可得
a4=(a＋1)2=a2＋2a+1=3a+2,
a8=(3a＋2)2=9a2＋12a＋4=21a＋13,
a16=(21a+13)2=441a2＋546a＋169
＝987a＋610,
a18＝(987a＋610)(a＋1)＝987a2＋1597a＋610
=2584a＋1597．
又
因为a2-a-1=0,所以64a2-64a-65=-1,即
(8a+5)(8a-13)=-1．
所以
a18＋323a－6=2584a＋1597＋323(-8a＋13)=5796．
13．(1)由题设知,A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x,x,18-2x,发往E市的机器台数分别为10-x,10-x,2x-10．于是
W=200x＋300x+400(18-2x)＋800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)
=-800x＋17200．
W=-800x＋17200(5≤x≤9,x是整数)．
由上式可知,W是随着x的增加而减少的,所以当x=9时,W取到最小值10000元；当x=5时,W取到最大值13200元．
(2)由题设知,A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x,y,18-x-y,发往E市的机器台数分别为10-x,10-y,x＋y-10．于是
W=200x+800(10-x)+300y＋700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)
=-500x-300y+17200．
W=-500x-300y+17200,
且
W=-200x-300(x+y)+17200
≥-200×10-300×18＋17200=9800．
当x=10,y=8时,W=9800,所以W的最小值为9800．又
W=-200x-300(x＋y)＋17200
≤-200×0-300×10+17200=14200,
当x=0,y=10时,W=14200,所以W的最大值为14200．
一、选择题(本题共5小题,每小题6分,满分30分)
1．已知a,b,c都是实数,并且a＞b＞c,那么下列式子中正确的是 [ ]
A．ab＞bc
B．a+b＞b+c
C．a-b＞b-c
2．如果方程x2+px+1=0(p＞0)的两根之差为1,那么p等于[ ]
A．2 B．4
3．在△ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积等于 [ ]
A．12 B．14
C．16 D．18
一定通过 [ ]
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
个不等式组的整数a,b的有序数对(a,b)共有 [ ]
A．17个 B．64个
C．72个 D．81个
二、填空题(本题共5小题,每小题6分,满分30分)
6．在矩形ABCD中,已知AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E,F分别是垂足,那么PE+PF=____．
7．已知直线y=-2x＋3与抛物线y=x2相交于A,B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于____．
8．已知圆环内直径为a厘米,外直径为b厘米,将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为____厘米．
9．已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15＝0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根,那么a=____．
航行,B船同时向南航行,且B船的速度为A船速度的2倍,那么A,B两船的最近距离是____千米．
三、解答题(本题共3小题,每小题20分,满分60分)
11．在等腰直角三角形ABC中,AB=1,∠A=90°,点E为腰AC的中点,点F在底边BC上,且FE⊥BE,求△CEF的面积．
(1)求a的值；
(2)求a18+323a-6的值．
13．A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台．现在决定把这些机器支援给D市18台,E市10台．已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元．
(1)设从A市、B市各调x台到D市,当28台机器全部调运完毕后,求总运费W(元)关于x(台)的函数式,并求W的最小值和最大值；
(2)设从A市调x台到D市,B市调y台到D市,当28台机器全部调运完毕后,用x,y表示总运费W(元),并求W的最小值和最大值．
解 答
1．根据不等式性质,选B．．
2．由△=p2-4＞0及p＞2,设x1,x2为方程两根,那么有x1+x2=-p,x1x2=1．又由
(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2,
3．如图3－271,连ED,则
又因为DE是△ABC两边中点连线,所以
故选C．
4．由条件得
三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c),所以有p=2或a+b＋c＝0．
当p=2时,y=2x＋2,则直线通过第一、二、三象限．
y=-x-1,则直线通过第二、三、四象限．
综合上述两种情况,直线一定通过第二、三象限．故选B．,
的可以区间,如图3－272．
+1,3×8＋2,3×8＋3,……3×8＋8,共8个,9×8=72(个)．故选C．
6．如图3－273,过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高,所以PE＋PF=AG．因为AD=12,AB=5,所以BD=13,所
7．如图3-274,直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1,1),B(-3,9)．作AA1,BB1分别垂直于x轴,垂足为A1,B1,所以
8．如图3－275,当圆环为3个时,链长为
当圆环为50个时,链长为
9．因为a≠0,解得
故a可取1,3或5．
10．如图3－276,设经过t小时后,A船、B船分别航行到A1,
A1C=|10-x|,B1C=|10-2x|,
所以
11．解法1如图3－277,过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为
∠ABE＋∠AEB=90°,
∠CED＋∠AEB=90°,
所以 ∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽Rt△CED,所以
又∠ECF=∠DCF=45°,所以CF是∠DCE的平分线,点F到CE和CD的距离相等,所以
所以
解法2 如图3－278,作FH⊥CE于H,设FH=h．因为
∠ABE＋∠AEB＝90°,
∠FEH+∠AEB=90°,
所以 ∠ABE=∠FEH,
于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为
所以
12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点,所以一元二次方程
有两个相等的实根,于是
(2)由(1)知,a2=a＋1,反复利用此式可得
a4=(a＋1)2=a2＋2a+1=3a+2,
a8=(3a＋2)2=9a2＋12a＋4=21a＋13,
a16=(21a+13)2=441a2＋546a＋169
＝987a＋610,
a18＝(987a＋610)(a＋1)＝987a2＋1597a＋610
=2584a＋1597．
又
因为a2-a-1=0,所以64a2-64a-65=-1,即
(8a+5)(8a-13)=-1．
所以
a18＋323a－6=2584a＋1597＋323(-8a＋13)=5796．
13．(1)由题设知,A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x,x,18-2x,发往E市的机器台数分别为10-x,10-x,2x-10．于是
W=200x＋300x+400(18-2x)＋800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)
=-800x＋17200．
W=-800x＋17200(5≤x≤9,x是整数)．
由上式可知,W是随着x的增加而减少的,所以当x=9时,W取到最小值10000元；当x=5时,W取到最大值13200元．
(2)由题设知,A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x,y,18-x-y,发往E市的机器台数分别为10-x,10-y,x＋y-10．于是
W=200x+800(10-x)+300y＋700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)
=-500x-300y+17200．
W=-500x-300y+17200,
且
W=-200x-300(x+y)+17200
≥-200×10-300×18＋17200=9800．
当x=10,y=8时,W=9800,所以W的最小值为9800．又
W=-200x-300(x＋y)＋17200
≤-200×0-300×10+17200=14200,
当x=0,y=10时,W=14200,所以W的最大值为14200．