概率论,选择第二个,“相互独立”和“不相关”不是一回事吗?

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/13 10:36:38

X与Y独立,所以f(xy)=f(x)f(y)
X,Y不相关,E(XY)=E(X)E(Y)
（1）X与Y独立,则X与Y一定不相关
（2）X与Y不相关,则X与Y不一定独立
证明：
（1）由于X与Y独立,所以f(xy)=f(x)f(y),（f为概率密度函数）
于是:E(XY)=∫∫f(xy)dxdy
=∫∫[f(x)*f(y)]dxdy
=∫f(x)dx*∫f(y)dy
=E(X)E(Y)
所以：E(XY)=E(X)E(Y),即X,Y不相关.
（2）反例：
X=cost,Y=sint,其中t是(0,2π]上的均匀分布随机变量.
易得X和Y不相关,因为：
E(XY)=E(cost sint)=（1/2π）*∫sint cost dt = 0
E(X)=（1/2π）* ∫cost dt = 0
E(Y)=（1/2π）* ∫sint dt = 0
所以E(XY)=E(X)E(Y)
但是他们是不独立的.
因为：
X和Y各自的概率密度函数在（-1,1）上有值,但是XY的联合概率密度只在单位圆内有值,所以f(XY)不等于f(x)*f(y),两者不独立.
再问：能不能举个例子？我还是不太明白？

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