设函数f(x)的定义域为R,对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)>0且f(2)=6.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/28 15:44:30
设函数f(x)的定义域为R,对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)>0且f(2)=6.
(1)求证:函数f(x)为奇函数;
(2)证明函数f(x)在R上是增函数;
(3)在区间[-4,4]上,求f(x)的最值.
(1)求证:函数f(x)为奇函数;
(2)证明函数f(x)在R上是增函数;
(3)在区间[-4,4]上,求f(x)的最值.
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(1)证明:∵∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)
∴令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0,
令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)
即f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数;
(2)证明:设∀x1,x2∈R,且x1<x2
则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
又∵当x>0时f(x)>0
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,
即f(x2)>f(x1),
∴函数f(x)在R上是增函数
(3)解∵函数f(x)在R上是增函数,
∴函数f(x)在区间[-4,4]上也是增函数,
∴函数f(x)的最大值为f(4),最小值为f(-4)
∵f(2)=6
∴f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=12,
∵函数f(x)为奇函数,
∴f(-4)=-f(4)=-12,
故函数f(x)的最大值为12,最小值为-12.
∴令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0,
令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)
即f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数;
(2)证明:设∀x1,x2∈R,且x1<x2
则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
又∵当x>0时f(x)>0
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,
即f(x2)>f(x1),
∴函数f(x)在R上是增函数
(3)解∵函数f(x)在R上是增函数,
∴函数f(x)在区间[-4,4]上也是增函数,
∴函数f(x)的最大值为f(4),最小值为f(-4)
∵f(2)=6
∴f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=12,
∵函数f(x)为奇函数,
∴f(-4)=-f(4)=-12,
故函数f(x)的最大值为12,最小值为-12.
设函数f(x)的定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)*f(y)
设函数f(x)的定义域为R,对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)>0且f(2)=6.
定义域R的的函数f(x)满足:对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当X>0时f(x)
已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x>0都有f(x)<0
已知函数f(x)定义域在R上的函数,且对任意的x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立.当x>0时,f(x)>
定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f(x)
设函数f x的定义域为R,对任意实数X.Y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)>0且f(2)=3 1
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f(x)小于0.
设函数y=f(x)定义域为R,当x>0时f(x)>1,且对于任意的x,y∈R有f(x+y)=f(x)·f(y)成立
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y) =f(x)f(y)且f(x)>0,f(2)=9
函数的奇偶性的题急求设函数f(x)的定义域为R对任意实数x.y都有f(x+y)=f(x)+(y),又当x>0时,f(2)
设f(x)是定义域在R上的函数,对任意x,y ∈R,恒有f(x+y)=f(x)×f(y),当x>0时,有0<f(x)<1