搜搜做题作业网哥德尔证明了逻辑的完备,又证明了数学 系统的不完全.两者根本区别在哪里?为什么会这样?
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/07/27 18:32:13
哥德尔证明了逻辑的完备,又证明了数学 系统的不完全.两者根本区别在哪里?为什么会这样?
这个“完备”和不“完全”是两回事.
逻辑系统的完备,指的是逻辑系统中,重言式一定是能被证明的.
数学系统的不完全,指的是任何一个数学系统,都不能证明所有为真的事情.
数学系统是在逻辑系统上加上一些特有的公理形成的.
单纯的逻辑系统是完备的,但是加上其他的公理,形成数学系统,就不完备了.
在学术著作中,完备和完全是一个英文词,中国人为了分开,采取了不同的翻译.
再问： 我看过这样的说法：完全=完备+不矛盾。是不？关于翻译和这个词，我都能理解。你这样解释，我基本也理解。但你说单纯的逻辑系统是完备的，可歌德尔只证明了一阶谓词的完备。有人说高阶就不完备了。是不是这样？另外：比如欧几里德几何基本上是完备的我明白；而基本算术系统不完备，有没有什么例子，比较简单的。请您告诉我。还有哥德巴赫猜想算不算基本算术系统里的？谢谢。 我比较笨，希望得到更多更详细的信息。
再答： 完全=完备+不矛盾应该是错的，完备和完全是一个词，也是同样的意思，不过在不同的上下文环境汇总容易混淆，人们分别翻译，做了区别。 二阶以上的逻辑系统是不完备的。欧几里得是不是完备的我不知道，基本算术是不完备的。没有简单的例子，只是理论上的。寻找这样的例子很费事，也有一些人做过这样的事情。这样的例子叫哥德尔句子。我只能这样解释：在算术里，一个命题，要么为真，要么为假。例如1+2=3是真的，1+2=4是假的，一般来说这些命题的真假都可以被证明。歌德尔说的是，存在一个命题，不能被证明是真的，也不能被证明是假的。 哥德巴赫猜想很有意思，我认为他是算术系统里的。
再问： 您说的，我听明白了。非常感谢，我想再罗嗦一下，希望不吝赐教。 我还有一个疑惑。哥德尔证明一阶演算完备，他用的方法是不是也用了形式逻辑，如果是的，他不就是拿逻辑证明逻辑的基础完备么？这样证明了也只是合理的，证明不了也可能是他的方法出错，都说明不了什么？这不是多余的么？不是把“逻辑”当一个特殊公理系统，承认它就好了么？我感觉，他居然把这个都证明了，非常神奇。
再答： 他用的不是逻辑（虽然里面使用了一些合理的推理）。 是公认的一些方法，类似对角线法，也有点类似悖论。 总之，那个方法是合情合理的。
再问： 对角线法、类似悖论的。那不是证明“不完全性定理”的方法吗？难道说哥德尔一开始就用这招，然后一招鲜吃遍天？是的话，能提供给我详细点的论证过程么？万分感谢。很想拜您为师。我的邮箱suejet@126.com.我的qq是727613585。可以的话，加我吧。
再答： 那只是基本的方法，哥德尔贡献很多。 这些东西，只要多看书就行了啊。 推荐：汉米尔顿的数理逻辑； 李未的数理逻辑。
逻辑系统的完备,指的是逻辑系统中,重言式一定是能被证明的.
数学系统的不完全,指的是任何一个数学系统,都不能证明所有为真的事情.
数学系统是在逻辑系统上加上一些特有的公理形成的.
单纯的逻辑系统是完备的,但是加上其他的公理,形成数学系统,就不完备了.
在学术著作中,完备和完全是一个英文词,中国人为了分开,采取了不同的翻译.
再问： 我看过这样的说法：完全=完备+不矛盾。是不？关于翻译和这个词，我都能理解。你这样解释，我基本也理解。但你说单纯的逻辑系统是完备的，可歌德尔只证明了一阶谓词的完备。有人说高阶就不完备了。是不是这样？另外：比如欧几里德几何基本上是完备的我明白；而基本算术系统不完备，有没有什么例子，比较简单的。请您告诉我。还有哥德巴赫猜想算不算基本算术系统里的？谢谢。 我比较笨，希望得到更多更详细的信息。
再答： 完全=完备+不矛盾应该是错的，完备和完全是一个词，也是同样的意思，不过在不同的上下文环境汇总容易混淆，人们分别翻译，做了区别。 二阶以上的逻辑系统是不完备的。欧几里得是不是完备的我不知道，基本算术是不完备的。没有简单的例子，只是理论上的。寻找这样的例子很费事，也有一些人做过这样的事情。这样的例子叫哥德尔句子。我只能这样解释：在算术里，一个命题，要么为真，要么为假。例如1+2=3是真的，1+2=4是假的，一般来说这些命题的真假都可以被证明。歌德尔说的是，存在一个命题，不能被证明是真的，也不能被证明是假的。 哥德巴赫猜想很有意思，我认为他是算术系统里的。
再问： 您说的，我听明白了。非常感谢，我想再罗嗦一下，希望不吝赐教。 我还有一个疑惑。哥德尔证明一阶演算完备，他用的方法是不是也用了形式逻辑，如果是的，他不就是拿逻辑证明逻辑的基础完备么？这样证明了也只是合理的，证明不了也可能是他的方法出错，都说明不了什么？这不是多余的么？不是把“逻辑”当一个特殊公理系统，承认它就好了么？我感觉，他居然把这个都证明了，非常神奇。
再答： 他用的不是逻辑（虽然里面使用了一些合理的推理）。 是公认的一些方法，类似对角线法，也有点类似悖论。 总之，那个方法是合情合理的。
再问： 对角线法、类似悖论的。那不是证明“不完全性定理”的方法吗？难道说哥德尔一开始就用这招，然后一招鲜吃遍天？是的话，能提供给我详细点的论证过程么？万分感谢。很想拜您为师。我的邮箱suejet@126.com.我的qq是727613585。可以的话，加我吧。
再答： 那只是基本的方法，哥德尔贡献很多。 这些东西，只要多看书就行了啊。 推荐：汉米尔顿的数理逻辑； 李未的数理逻辑。
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