一道初中几何题,求用三角函数的解法!
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 02:18:10
一道初中几何题,求用三角函数的解法!
D为圆O上的一点,DE垂直于直径AB,E为垂足,过D,A作圆O的切线,相交于点C,BC和DE相交于点F.求证:DF = EF
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/38/738fb07ad9665b911d3905cd6a9fdaaa.jpg)
D为圆O上的一点,DE垂直于直径AB,E为垂足,过D,A作圆O的切线,相交于点C,BC和DE相交于点F.求证:DF = EF
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![一道初中几何题,求用三角函数的解法!](/uploads/image/z/3237045-69-5.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E5%88%9D%E4%B8%AD%E5%87%A0%E4%BD%95%E9%A2%98%2C%E6%B1%82%E7%94%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%B3%95%21)
如我加入的图,设CB与圆O的交点为G,连结AG,GD,DB,AD
则显然有DB/AB=GD/AG(这是关于圆的两切线和割线的一个很常用的结论,如果你想要它的证明我可以再写给你)
又DB/AB=BE/DB(射影定理),
所以BE/DB=GD/AG……………(1)
由正弦定理知GD/AG=sinα‘/sinβ’,
因为sinα‘=sinα,sinβ’=sinβ
所以GD/AG=sinα/sinβ………………(2)
联(1)式和(2)式知BE/DB=sinα/sinβ,
即BEsinβ=DBsinα
由正弦定理可得BEsinβ=EFsin∠BFE,DBsinα=DFsin∠BFD
从而EFsin∠BFE=DFsin∠BFD,又∠BFE+∠BFD=180°⇒sin∠BFE=sin∠BFD
所以EF=DF
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/50/e50b10509676c56fb2164475ecaa0aea.jpg)
则显然有DB/AB=GD/AG(这是关于圆的两切线和割线的一个很常用的结论,如果你想要它的证明我可以再写给你)
又DB/AB=BE/DB(射影定理),
所以BE/DB=GD/AG……………(1)
由正弦定理知GD/AG=sinα‘/sinβ’,
因为sinα‘=sinα,sinβ’=sinβ
所以GD/AG=sinα/sinβ………………(2)
联(1)式和(2)式知BE/DB=sinα/sinβ,
即BEsinβ=DBsinα
由正弦定理可得BEsinβ=EFsin∠BFE,DBsinα=DFsin∠BFD
从而EFsin∠BFE=DFsin∠BFD,又∠BFE+∠BFD=180°⇒sin∠BFE=sin∠BFD
所以EF=DF
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/50/e50b10509676c56fb2164475ecaa0aea.jpg)