搜搜做题作业网一道初中几何题,求用三角函数的解法!
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/19 02:18:10
一道初中几何题,求用三角函数的解法!
D为圆O上的一点,DE垂直于直径AB,E为垂足,过D,A作圆O的切线,相交于点C,BC和DE相交于点F.求证:DF = EF
D为圆O上的一点,DE垂直于直径AB,E为垂足,过D,A作圆O的切线,相交于点C,BC和DE相交于点F.求证:DF = EF
如我加入的图,设CB与圆O的交点为G,连结AG,GD,DB,AD
则显然有DB/AB=GD/AG（这是关于圆的两切线和割线的一个很常用的结论,如果你想要它的证明我可以再写给你）
又DB/AB=BE/DB（射影定理）,
所以BE/DB=GD/AG……………（1）
由正弦定理知GD/AG=sinα‘/sinβ’,
因为sinα‘=sinα,sinβ’=sinβ
所以GD/AG=sinα/sinβ………………（2）
联（1）式和（2）式知BE/DB=sinα/sinβ,
即BEsinβ=DBsinα
由正弦定理可得BEsinβ=EFsin∠BFE,DBsinα=DFsin∠BFD
从而EFsin∠BFE=DFsin∠BFD,又∠BFE+∠BFD=180°⇒sin∠BFE=sin∠BFD
所以EF=DF
则显然有DB/AB=GD/AG（这是关于圆的两切线和割线的一个很常用的结论,如果你想要它的证明我可以再写给你）
又DB/AB=BE/DB（射影定理）,
所以BE/DB=GD/AG……………（1）
由正弦定理知GD/AG=sinα‘/sinβ’,
因为sinα‘=sinα,sinβ’=sinβ
所以GD/AG=sinα/sinβ………………（2）
联（1）式和（2）式知BE/DB=sinα/sinβ,
即BEsinβ=DBsinα
由正弦定理可得BEsinβ=EFsin∠BFE,DBsinα=DFsin∠BFD
从而EFsin∠BFE=DFsin∠BFD,又∠BFE+∠BFD=180°⇒sin∠BFE=sin∠BFD
所以EF=DF