（2014•东营二模）设函数f（x）=axn+1+bxn+c（x＞0），其中a+b=0，n为正整数，a，b，c均为常数，

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/13 07:17:08

（2014•东营二模）设函数f（x）=axⁿ⁺¹+bxⁿ+c（x＞0），其中a+b=0，n为正整数，a，b，c均为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y-1=0．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的最大值；
（3）证明：对任意的x∈（0，+∞）都有nf(x)＜

（1）∵a+b=0，∴f（1）=a+b+c=c．
由点（1，c）在直线x+y=1上，可得1+c=1，即c=0．----（1分）
∵f'（x）=a（n+1）xⁿ+bnx^n-1，∴f'（1）=（a+b）n+a=a．（2分）
又∵切线x+y=1的斜率为-1，∴a=-1，
∵a+b=0，∴b=1，
∴a=-1，b=1，c=0．（3分）
（2）由（1）知，f（x）=-xⁿ⁺¹+xⁿ，故f′(x)＝(n+1)xn−1(
n
n+1−x)．（4分）
令f′（x）=0，解得x=
n
n+1，即f′（x）在（0，+∞）上有唯一零点x=
n
n+1．（5分）
当0＜x＜
n
n+1时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，
n
n+1）上单调递增；（6分）
当x＞
n
n+1时，f′（x）＜0，故f（x）在（
n
n+1，+∞）单调递减．（7分）
∴f（x）在（0，+∞）上的最大值f（x）_max=f（
n
n+1）=(
n
n+1)n(1−
n
n+1)＝
nn
(n+1)n+1．-----------------（8分）
（3）证明：要证对任意的x∈（0，+∞）都有nf(x)＜
1
e，只需证f(x)＜
1
ne，
由（2）知在（0，+∞）上f（x）有最大值，f(x)max＝
nn
(n+1)n+1，故只需证
nn
(n+1)n+1＜
1
ne-----（9分）
即(
n
n+1)^n+1，即ln
n
n+1+
1
n+1＜0，①（10分）
令
n
n+1＝t，(0＜t＜1)，则
1
n+1＝1−t，①即lnt-t+1＜0，②（11分）
令g（t）=lnt-t+1，（0＜t＜1），则g′(t)＝
1
t−1＝
1−t
t，（12分）
显然当0＜t＜1时，g'（t）＞0，所以g（t）在（0，1）上单调递增，
∴g（t）＜g（1）=0，即对任意的0＜t＜1②恒成立，
∴对任意的x∈（0，+∞）都有

（2014•东营二模）设函数f（x）=axn+1+bxn+c（x＞0），其中a+b=0，n为正整数，a，b，c均为常数，设函数f(x)满足af(x)+bf(1/x)=c/x(其中a、b、c均为常数且a≠b),则f'(x)= 设函数f(x)=ax^n(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1 一道高中数学题设函数f(x)=ax^4(1-x)+b(x大于0）,n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1,f （2008•徐汇区二模）已知函数f（x）=x|x-a|+b，g（x）=x+c（其中a、b、c为常数）设f(x)满足af(x)+bf(1-x)= c/x 其中a、b、c均为常数且绝对值a≠绝对值b 求f(x) 设a>0，函数f（x）=ax+bx2+1，b为常数．已知函数f（x）=ax4lnx+bx4-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．已知函数f(x)=aInx+bx的4次方-c（x>0) 在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数设y=f(x)=ax+b/cx-a,证明x=f(y),其中a,b,c为常数,且a^2+bc不等于0 设函数y=(x^2-x+n)/(x^2+1),（n是正整数）的最小值为a(n),最大值为b(n),又c(n)=4a(n) 已知函数f(x)=ax^4lnx+bx^4-c(x >0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b为常数