1.正方形ABCD中,M为BC的延长线上任意一点,过M作MN垂直于AM交角DCB的外角平分线于N,求证：AM=MN.

1.正方形ABCD中,M为BC的延长线上任意一点,过M作MN垂直于AM交角DCB的外角平分线于N,求证：AM=MN.
2.已知,在三角形ABC中,AD为高,且AB+CD=AC+BD,求证：AB=AC.
3.已知等腰三角形ABC和ADE的顶角共顶点,角BAC=角DAE,PB=PD,PC=PE,连接PB,PC,PD,PE.B、A、E依次在同一条直线上,若角BAC=aº,猜想角BPC+角DPE的值,并证明你的结论.
我只学到了人教版八上第十二章 全等三角形，在此为你们磕头了，题目是我打字的，条件有限，没图

1.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：连接AC交MN于P,过M作MF∥AC交AB于F,证明△AFM≌△MCN,由全等三角形的性质即可得到AM=MN．
证明：连接AC交MN于P,过M作MF∥AC交AB于F．则△ABC和△FBM均为等腰直角三角形,BF=BM；
又∵BA=BC,
∴AF=MC,
∵∠AMN=∠ACN=90°,∠APM=∠NPC,
∴∠1=∠2．
又MF∥AC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3；
又∵∠AFM=∠MCN=135°．
在△AFM和△MCN中,

∠3＝∠1    
∠AFM＝∠MCN    
AF＝MC    
∴△AFM≌△MCN（AAS）,
∴AM=MN．
2.
考点：勾股定理．
专题：证明题．
分析：通过勾股定理得出等式AB2-BD2=AC2-CD2,与已知等式联立得AB+BD=AC+CD,从而得出最后结果．
证明：∵三角形ABD和ACD是直角三角形,
∴AB2-BD2=AC2-CD2①,
又由AB+CD=AC+BD得：
AB-BD=AC-CD②,
由①②得：
AB+BD=AC+CD③,
联立公式②③得：
AB=AC．
3.
已知：等腰△ABC中AB=AC,等腰△ADE中AD=AE,B、A、E在同一条直线上,C、A、D在同一条直线上,点P在△ADE的内部,且PB=PD,PC=PE．
（1）如图1,若∠BAC=60°,则∠BPC+∠DPE=
120°
；
（2）如图2,若∠BAC=90°,则∠BPC+∠DPE=
180°
；
（3）如图3,若∠BAC=α,求∠BPC+∠DPE的值,

考点：等腰三角形的性质．
分析：（1）先易证得△BPE≌△DPC,得到∠1=∠2,∠3=∠4,由∠BAC=60°,得到△ABC和△ADE为等边三角形,则∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=60°,根据三角形的内角和定理得到∠BPC=180°-∠1-∠4-∠7-∠8=60°-∠1-∠4,∠DPE=180°-∠5-∠6=180°-（60°-∠2）-（60°-∠3）=60°+∠2+∠3,即可得到∠BPC+∠DPE；
（2）同一样,只是∠BAC=90°,得到∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=45°,则∠BPC=180°-∠1-∠4-∠7-∠8=90°-∠1-∠4,∠DPE=180°-∠5-∠6=180°-（45°-∠2）-（45°-∠3）=90°+∠2+∠3,即可得到∠BPC+∠DPE；
（3）同前面的证法一样,由∠BAC=α,而AB=AC,PD=PE,得到∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=90°-1/2  α,即可得到∠BPC+∠DPE=2α；

（1）∵AB=AC,AD=AE,B、A、E在同一条直线上,C、A、D在同一条直线上,
∴BE=CD,
而PB=PD,PC=PE,
∴△BPE≌△DPC,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠BAC=60°,
∴△ABC和△ADE为等边三角形,
∴∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=60°,
∵∠BPC=180°-∠1-∠4-∠7-∠8=60°-∠1-∠4；∠DPE=180°-∠5-∠6=180°-（60°-∠2）-（60°-∠3）=60°+∠2+∠3,
∴∠BPC+∠DPE=60°×2=120°；

（2）同理可证得∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠BAC=90°,
∴∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=45°,
∴∠BPC=180°-∠1-∠4-∠7-∠8=90°-∠1-∠4,
∠DPE=180°-∠5-∠6=180°-（45°-∠2）-（45°-∠3）=90°+∠2+∠3,
∴∠BPC+∠DPE=180°；
故答案为120°,180°．

（3）由（1）可得∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠BAC=α,而AB=AC,PD=PE,
∴∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=90°-1/2   α,
∴∠BPC=180°-∠1-∠4-∠7-∠8=α-∠1-∠4,
∠DPE=180°-∠5-∠6=180°-（90°-1/2   α
-∠2）-（90°-1/2   α
-∠3）=α+∠2+∠3,
∴∠BPC+∠DPE=2α．

点评：本题考查了等腰三角形的性质：已知等腰三角形的顶角根据三角形的内角和定理可得到底角的度数．也考查了三角形全等的判定与性质以及等边三角形和等腰直角三角形的性质．