如何用向量证明三角形三条中线交于一点
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/02 03:56:57
如何用向量证明三角形三条中线交于一点
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AD、BE、CF是△ABC的三条中线,用向量法求证:AD、BE、CF共点.
[证明]
令BE、CF相交于O,且BO=mOE、CO=nOF,其中m、n为非零实数.则:
向量BO=m向量OE、向量CO=n向量OF.
∴向量BC=向量OC-向量OB=向量BO-向量CO=m向量OE-n向量OF,
向量FE=向量OE-向量OF.
显然有:向量BC=2向量FE,∴m向量OE-n向量OF=2(向量OE-向量OF),
∴(m-2)向量OE=(n-2)向量OF,而向量OE、向量OF不共线,∴m-2=n-2=0,
∴m=n=2,∴BO=2OE、CO=2OF.
令AD、BE相交于G,利用上述结论,则有:BG=2GE,又BO=2OE,且O、G都在线段BE上,
∴O、G重合,∴AD、BE、CF共点.
[证明]
令BE、CF相交于O,且BO=mOE、CO=nOF,其中m、n为非零实数.则:
向量BO=m向量OE、向量CO=n向量OF.
∴向量BC=向量OC-向量OB=向量BO-向量CO=m向量OE-n向量OF,
向量FE=向量OE-向量OF.
显然有:向量BC=2向量FE,∴m向量OE-n向量OF=2(向量OE-向量OF),
∴(m-2)向量OE=(n-2)向量OF,而向量OE、向量OF不共线,∴m-2=n-2=0,
∴m=n=2,∴BO=2OE、CO=2OF.
令AD、BE相交于G,利用上述结论,则有:BG=2GE,又BO=2OE,且O、G都在线段BE上,
∴O、G重合,∴AD、BE、CF共点.