三角形三边a.b.c 证明a2/(b+c-a)+b2/(a+c-b)+c2/(a+b-c)>a+b+c
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 14:03:29
三角形三边a.b.c 证明a2/(b+c-a)+b2/(a+c-b)+c2/(a+b-c)>a+b+c
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此题应仔细观察待证式左边的分母,可以发现(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c,故可利用均值不等式解决.
解:由题易知a>0,b>0,c>0.
由均值不等式a+b>=2√(ab)有
[a^2/(b+c-a)]+(b+c-a)>=2√(a^2)=2a
[b^2/(c+a-b)]+(c+a-b))>=2√(b^2)=2b
[c^2/(a+b-c)]+(a+b-c)>=2√(c^2)=2c
上述三式相加即得
a^2/(b+c-a)+b^2/(c+a-b)+c^2/(a+b-c)>=a+b+c
所以原不等式得证.
a^2/(b+c-a)+b^2/(a+c-b)+c^2/(a+b-c)>=a+b+c
等价于
[a^2/(b+c-a)+(b+c-a)]+[b^2/(a+c-b)+(a+c-b)]+[c^2/(a+b-c)+(a+b-c)]>=2a+2b+2c
分别由均值不等式
a^2/(b+c-a)+(b+c-a)>=2a
b^2/(a+c-b)+(a+c-b)>=2b
c^2/(a+b-c)+(a+b-c)>=2c
相加得原不等式成立
注意:这个不等式适用于a,b,c分别为三角形的三边时,因为只有这样,才有a+b-c>0,b+c-a>0,c+a-b>0.
解:由题易知a>0,b>0,c>0.
由均值不等式a+b>=2√(ab)有
[a^2/(b+c-a)]+(b+c-a)>=2√(a^2)=2a
[b^2/(c+a-b)]+(c+a-b))>=2√(b^2)=2b
[c^2/(a+b-c)]+(a+b-c)>=2√(c^2)=2c
上述三式相加即得
a^2/(b+c-a)+b^2/(c+a-b)+c^2/(a+b-c)>=a+b+c
所以原不等式得证.
a^2/(b+c-a)+b^2/(a+c-b)+c^2/(a+b-c)>=a+b+c
等价于
[a^2/(b+c-a)+(b+c-a)]+[b^2/(a+c-b)+(a+c-b)]+[c^2/(a+b-c)+(a+b-c)]>=2a+2b+2c
分别由均值不等式
a^2/(b+c-a)+(b+c-a)>=2a
b^2/(a+c-b)+(a+c-b)>=2b
c^2/(a+b-c)+(a+b-c)>=2c
相加得原不等式成立
注意:这个不等式适用于a,b,c分别为三角形的三边时,因为只有这样,才有a+b-c>0,b+c-a>0,c+a-b>0.
三角形三边a.b.c 证明a2/(b+c-a)+b2/(a+c-b)+c2/(a+b-c)>a+b+c
a>b>c,求证b^c2+c^a2+a^b2>b2^c+c2^a+a2^b
a2(b-c)+b2(a-c)+c2(a-b)因式分解
在三角形 三边长为a b c 证明:a2+b2+c2
因式分解a2(b2-c2)-c2(b-c)(a+b)
证明2(a3+b3+c3)>a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)
a,b,c为正实数,证明a2\b+b2\c+c2\a>=a+b+c
三角形ABC三边长a、b、c满足等式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=0,三角形ABC形状为:等腰三角形.
因式分解:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
1.设a,b,c是三角形的三边,求证:a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)-a3-b3-c3>2abc
p1821.设a,b,c是三角形ABC的三边,证a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)-a3-b3-c3>
已知a,b,c为三角形ABC的三边,并且满足a2+b2+c2